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Contents
Vorwort
Danksagung
Vorwort zur zweiten Auflage
Überblick
1 Elementare partielle Differentialgleichungen
1.1 Laplace- und Poisson-Gleichung
Laplace-Gleichung
Poisson-Gleichung
1.1.1 Randwertprobleme
1.1.2 Anfangswertproblem
1.1.3 Eigenwertproblem
1.2 Diffusionsgleichung
Fourier-Entwicklung von Anfangs-Randwertproblemen
Punktweise Kondition
End-Randwertprobleme
1.3 Wellengleichung
Anfangswertproblem (Cauchy-Problem)
Kondition
Charakteristisches Anfangswertproblem (Riemann-Problem)
Anfangs-Randwertproblem
Fourierdarstellung
1.4 Schrödinger-Gleichung
Zerfließen von Wellenpaketen
Eindeutigkeit
Kondition
1.5 Helmholtz-Gleichung
1.5.1 Randwertprobleme
1.5.2 Zeitharmonische Differentialgleichungen
1.6 Klassifikation
1.7 Übungsaufgaben
Aufgabe 1.1.
Aufgabe 1.2.
Aufgabe 1.3.
Aufgabe 1.4.
Aufgabe 1.5.
Aufgabe 1.6.
Aufgabe 1.7.
Aufgabe 1.8.
Aufgabe 1.9.
Aufgabe 1.10.
Aufgabe 1.11.
2 Partielle Differentialgleichungen in Naturwissenschaft und Technik
2.1 Elektrodynamik
2.1.1 Maxwell-Gleichungen
2.1.2 Optische Modellhierarchie
2.2 Strömungsdynamik
Substantielle Ableitung
2.2.1 Euler-Gleichungen
2.2.2 Navier–Stokes-Gleichungen
2.2.3 Prandtlsche Grenzschicht
2.2.4 Poröse-Medien-Gleichung
2.3 Elastomechanik
2.3.1 Grundbegriffe der nichtlinearen Elastomechanik
2.3.2 Lineare Elastomechanik
2.4 Übungsaufgaben
Aufgabe 2.1.
Aufgabe 2.2.
Aufgabe 2.3.
Aufgabe 2.4.
Aufgabe 2.5.
Aufgabe 2.6.
Aufgabe 2.7.
Aufgabe 2.8.
Aufgabe 2.9.
Aufgabe 2.10.
Aufgabe 2.11.
Aufgabe 2.12.
3 Differenzenmethoden für Poisson-Probleme
3.1 Diskretisierung des Standardproblems
Diskretisierung des Laplace-Operators
3.1.1 Diskrete Randwertprobleme
3.1.2 Diskretes Eigenwertproblem
3.2 Approximationstheorie bei äquidistanten Gittern
Diskretisierungsfehler
Normen
Maximumnorm (p=∞)
Euklidische Norm (p=2)
3.2.1 Diskretisierungsfehler in L2
3.2.2 Diskretisierungsfehler in L∞
3.3 Diskretisierung auf nichtäquidistanten Gittern
3.3.1 Eindimensionaler Spezialfall
3.3.2 Krumme Ränder
3.4 Übungsaufgaben
Aufgabe 3.1.
Aufgabe 3.2.
Aufgabe 3.3.
Aufgabe 3.4.
Aufgabe 3.5.
4 Galerkin-Methoden
4.1 Allgemeines Schema
4.1.1 Schwache Lösungen
4.1.2 Ritz-Minimierung für Randwertprobleme
4.1.3 Rayleigh–Ritz-Minimierung für Eigenwertprobleme
4.2 Spektralmethoden
4.2.1 Realisierung mit Orthogonalsystemen
4.2.2 Approximationstheorie
4.2.3 Adaptive Spektralmethoden
4.3 Finite-Elemente-Methoden
Bemerkung 4.12.
4.3.1 Gitter und Finite-Elemente-Räume
4.3.2 Elementare finite Elemente
4.3.3 Realisierung finiter Elemente
4.4 Approximationstheorie für finite Elemente
4.4.1 Randwertprobleme
4.4.2 Eigenwertprobleme
4.4.3 Winkelbedingung für nichtuniforme Gitter
4.5 Übungsaufgaben
Aufgabe 4.1.
Aufgabe 4.2.
Aufgabe 4.3.
Aufgabe 4.4.
Aufgabe 4.5.
Aufgabe 4.6.
Aufgabe 4.7.
Aufgabe 4.8.
Aufgabe 4.9.
Aufgabe 4.10.
Aufgabe 4.11.
Aufgabe 4.12.
Aufgabe 4.13.
Aufgabe 4.14.
Aufgabe 4.15.
Aufgabe 4.16.
Aufgabe 4.17.
5 Numerische Lösung linearer elliptischer Gittergleichungssysteme
5.1 Direkte Eliminationsmethoden
5.1.1 Symbolische Faktorisierung
5.1.2 Frontenlöser
5.2 Matrixzerlegungsmethoden
Lineare Iterationsverfahren
Konvergenz symmetrisierbarer Iterationsverfahren
Matrixzerlegung
Diagonaldominanz
5.2.1 Jacobi-Verfahren
5.2.2 Gauß–Seidel-Verfahren
5.3 Verfahren der konjugierten Gradienten
5.3.1 CG-Verfahren als Galerkin-Methode
5.3.2 Vorkonditionierung
5.3.3 Adaptive PCG-Verfahren
5.3.4 Eine CG-Variante für Eigenwertprobleme
5.4 Glättungseigenschaft iterativer Lösungsverfahren
5.4.1 Illustration am Poisson-Modellproblem
5.4.2 Spektralanalyse für Jacobi-Verfahren
5.4.3 Glättungssätze
5.5 Hierarchische iterative Löser
5.5.1 Klassische Mehrgittermethoden
5.5.2 Hierarchische-Basis-Methode
5.6 Vergleich direkte gegen iterative hierarchische Löser
5.6.1 Allgemeiner Vergleich
5.6.2 Leistungskurve eines vertikalen Windgenerators
5.7 Übungsaufgaben
Aufgabe 5.1.
Aufgabe 5.2.
Aufgabe 5.3.
Aufgabe 5.4.
Aufgabe 5.5.
Aufgabe 5.6.
Aufgabe 5.7.
Aufgabe 5.8.
Aufgabe 5.9.
Aufgabe 5.10.
Aufgabe 5.11.
6 Konstruktion adaptiver hierarchischer Gitter
6.1 A-posteriori-Fehlerschätzer
Globale Fehlerschätzer
Lokalisierung globaler Fehlerschätzer
Fehlerdarstellung
Grundformel
6.1.1 Residuenbasierte Fehlerschätzer
6.1.2 Dreiecksorientierte Fehlerschätzer
6.1.3 Gradienten-Verbesserung
6.1.4 Hierarchische Fehlerschätzer
6.1.5 Zielorientierte Fehlerschätzung
6.2 Adaptive Gitterverfeinerung
6.2.1 Äquilibrierung lokaler Diskretisierungsfehler
6.2.2 Verfeinerungsstrategien
6.3 Konvergenz auf adaptiven Gittern
6.3.1 Ein Konvergenzbeweis
6.3.2 Ein Beispiel mit einspringenden Ecken
6.4 Entwurf eines Plasmon-Polariton-Wellenleiters
Mathematische Modellierung
Diskrete Formulierung
Numerische Resultate
Adaptive Gitter
6.5 Übungsaufgaben
Aufgabe 6.1.
Aufgabe 6.2.
Aufgabe 6.3.
Aufgabe 6.4.
7 Adaptive Mehrgittermethoden für lineare elliptische Probleme
7.1 Unterraum-Korrekturmethoden
7.1.1 Prinzip
7.1.2 Sequentielle Unterraum-Korrekturmethoden
7.1.3 Parallele Unterraum-Korrekturmethoden
7.1.4 Überlappende Gebietszerlegung
7.1.5 Finite Elemente höherer Ordnung
7.2 Hierarchische Raumzerlegungen
7.2.1 Zerlegung in hierarchische Basen
7.2.2 L2-orthogonale Zerlegung: BPX
7.3 Randwertprobleme
7.3.1 Additive Mehrgittermethoden
7.3.2 Multiplikative Mehrgittermethoden
7.3.3 Kaskadische Mehrgittermethoden
7.4 Eigenwertprobleme
7.4.1 Lineare Mehrgittermethode
7.4.2 Rayleigh-Quotienten-Mehrgittermethode
7.5 Übungsaufgaben
Aufgabe 7.1.
Aufgabe 7.2.
Aufgabe 7.3.
Aufgabe 7.4 (Inverse Ungleichung).
Aufgabe 7.5.
Aufgabe 7.6.
Aufgabe 7.7.
Aufgabe 7.8.
Aufgabe 7.9.
Aufgabe 7.10.
Aufgabe 7.11.
Aufgabe 7.12.
Aufgabe 7.13.
Aufgabe 7.14.
Aufgabe 7.15.
Aufgabe 7.16.
Aufgabe 7.17.
8 Adaptive Lösung nichtlinearer elliptischer Randwertprobleme
Bemerkung 8.1.
8.1 Diskrete Newton-Methoden für nichtlineare Gittergleichungssysteme
Affininvarianz
8.1.1 Exakte Newton-Methoden
8.1.2 Inexakte Newton-PCG-Methoden
8.2 Inexakte Newton-Mehrgittermethoden
8.2.1 Hierarchische Gittergleichungssysteme
8.2.2 Realisierung des adaptiven Algorithmus
8.2.3 Ein elliptisches Problem ohne Lösung
8.3 Operationsplanung in der Mund-Kiefer-Gesichtschirurgie
Mathematische Modellierung
Modifikation der adaptiven Newton-Mehrgittermethode
Ein Beispiel
8.4 Übungsaufgaben
Aufgabe 8.1.
Aufgabe 8.2.
Aufgabe 8.3.
Aufgabe 8.4.
9 Adaptive Integration parabolischer Anfangsrandwertprobleme
9.1 Zeitdiskretisierung bei steifen Differentialgleichungen
9.1.1 Lineare Stabilitätstheorie
9.1.2 Linear-implizite Einschrittverfahren
9.1.3 Defektkorrekturmethoden
9.1.4 Ordnungsreduktion
9.2 Raum-Zeit-Diskretisierung bei parabolischen Differentialgleichungen
Bemerkung 9.7.
9.2.1 Adaptive Linienmethode
9.2.2 Adaptive Zeitschichtenmethode
9.2.3 Zielorientierte Fehlerschätzung
9.3 Elektrische Erregung des Herzmuskels
9.3.1 Mathematische Modelle
9.3.2 Numerische Simulation
9.4 Übungsaufgaben
Aufgabe 9.1.
Aufgabe 9.2.
Aufgabe 9.3.
Aufgabe 9.4.
Aufgabe 9.5.
Aufgabe 9.6.
Aufgabe 9.7.
Aufgabe 9.8.
Aufgabe 9.9.
Aufgabe 9.10.
Aufgabe 9.11.
A Anhang
A.1 Fourieranalyse und Fouriertransformation
Fourierreihen
Kontinuierliche Fouriertransformation
A.2 Differentialoperatoren im ℝ3
Ableitung und Gradient
Divergenz
Rotation
Laplace-Operator
Zusammenhänge
Nützliche Umformung
A.3 Integralsätze
Definition A.2 (Gebiet).
Beweis.
Bemerkung A.4.
Beweis.
Beweis.
Bemerkung A.8.
A.4 Delta-Distribution und Greensche Funktionen
Delta-Distribution
Poisson-Gleichung
Diffusionsgleichung
Helmholtz-Gleichung
A.5 Sobolev-Räume
Definition A.9.
Definition A.10.
Beweis.
Definition A.12.
Definition A.13 (Kegelbedingung).
Korollar A.18.
Lemma A.19 (Céa-Lemma).
Beweis.
Bemerkung A.20.
A.6 Optimalitätsbedingungen
Software
Adaptive Finite-Elemente-Codes
Direkte Löser
Literatur
Stichwortverzeichnis
Notes
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