[Numerische Mathematik 01] • Eine algorithmisch orientierte Einführung by Deuflhard, Peter -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Cover Titlesite Impressum Inhalt Vorwort Überblick 1 Lineare Gleichungssysteme

1.1 Auflösung gestaffelter Systeme 1.2 Gaußsche Eliminationsmethode 1.3 Pivot-Strategien und Nachiteration 1.4 Cholesky-Verfahren für symmetrische, positiv definite Matrizen Übungsaufgaben

2 Fehleranalyse

2.1 Fehlerquellen 2.2 Kondition eines Problems

2.2.1 Normweise Konditionsanalyse 2.2.2 Komponentenweise Konditionsanalyse

2.3 Stabilität eines Algorithmus

2.3.1 Stabilitätskonzepte 2.3.2 Vorwärtsanalyse 2.3.3 Rückwärtsanalyse

2.4 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme

2.4.1 Lösbarkeit unter der Lupe 2.4.2 Rückwärtsanalyse der Gauß-Elimination 2.4.3 Beurteilung von Näherungslösungen

Übungsaufgaben

3 Lineare Ausgleichsprobleme

3.1 Gaußsche Methode der kleinsten Fehlerquadrate

3.1.1 Problemstellung 3.1.2 Normalgleichungen 3.1.3 Kondition 3.1.4 Lösung der Normalgleichungen

3.2 Orthogonalisierungsverfahren

3.2.1 Givens-Rotationen 3.2.2 Householder-Reflexionen

3.3 Verallgemeinerte Inverse Übungsaufgaben

4 Nichtlineare Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme

4.1 Fixpunktiteration 4.2 Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme 4.3 Gauß-Newton-Verfahren für nichtlineare Ausgleichsprobleme 4.4 Parameterabhängige nichtlineare Gleichungssysteme

4.4.1 Lösungsstruktur 4.4.2 Fortsetzungsmethoden

Übungsaufgaben

5 Lineare Eigenwertprobleme

5.1 Kondition des allgemeinen Eigenwertproblems 5.2 Vektoriteration 5.3 QR-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme 5.4 Singulärwertzerlegung 5.5 Stochastische Eigenwertprobleme

5.5.1 Perron-Frobenius-Theorie 5.5.2 Fastentkoppelte Markov-Ketten 5.5.3 Prinzip der Google-Suchmaschine

Übungsaufgaben

6 Drei-Term-Rekursionen

6.1 Theoretische Grundlagen

6.1.1 Orthogonalität und Drei-Term-Rekursionen 6.1.2 Homogene und inhomogene Rekursionen

6.2 Numerische Aspekte

6.2.1 Kondition 6.2.2 Idee des Miller-Algorithmus

6.3 Adjungierte Summation

6.3.1 Summation von dominanten Lösungen 6.3.2 Summation von Minimallösungen

Übungsaufgaben

7 Interpolation und Approximation

7.1 Theoretische Grundlagen

7.1.1 Eindeutigkeit und Kondition 7.1.2 Approximationsfehler der Interpolation 7.1.3 Minimax-Eigenschaft der Tschebyscheff-Polynome 7.1.4 Hermite-Interpolation

7.2 Algorithmen zur Polynom-Interpolation

7.2.1 Monomiale Basis: klassische Auswertung 7.2.2 Lagrange-Basis: schnellste Auswertung 7.2.3 Newton-Basis: dividierte Differenzen

7.3 Trigonometrische Interpolation 7.4 Bézier-Technik

7.4.1 Bernstein-Polynome und Bézier-Darstellung 7.4.2 Algorithmus von de Casteljau

7.5 Spline-Interpolation

7.5.1 Kubische Spline-Interpolation: theoretische Herleitung 7.5.2 Kubische Spline-Interpolation: Algorithmus 7.5.3 Allgemeinere Splineräume 7.5.4 B-Splines

Übungsaufgaben

8 Große symmetrische Gleichungssysteme und Eigenwertprobleme

8.1 Klassische Iterationsverfahren 8.2 Tschebyscheff-Beschleunigung 8.3 Verfahren der konjugierten Gradienten 8.4 Vorkonditionierung 8.5 Lanczos-Methoden Übungsaufgaben

9 Bestimmte Integrale

9.1 Quadraturformeln 9.2 Newton-Cotes-Formeln 9.3 Gauß-Christoffel-Quadratur

9.3.1 Konstruktion der Quadraturformeln 9.3.2 Berechnung der Knoten und Gewichte

9.4 Klassische Romberg-Quadratur

9.4.1 Asymptotische Entwicklung der Trapezsumme 9.4.2 Idee der Extrapolation 9.4.3 Details des Algorithmus

9.5 Adaptive Romberg-Quadratur

9.5.1 Adaptives Prinzip 9.5.2 Schätzung des Approximationsfehlers 9.5.3 Herleitung des Algorithmus

9.6 Schwierige Integranden 9.7 Adaptive Mehrgitter-Quadratur

9.7.1 Lokale Fehlerschätzung und Verfeinerungsregeln 9.7.2 Globale Fehlerschätzung und Details des Algorithmus

9.8 Monte-Carlo-Quadratur für hochdimensionale Integrale

9.8.1 Verwerfungsmethode 9.8.2 Markov-Ketten-Monte-Carlo-Methoden 9.8.3 Konvergenzgeschwindigkeit

Übungsaufgaben

Software Literatur Stichwortverzeichnis

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