[Numerische Mathematik 01] • Algebraische Probleme · 4.Auflage by Hermann, Martin -- Read -- Imperial Library of Trantor

Index

Title Page Copyright Contents Vorwort zur ersten Auflage Vorwort zur zweiten Auflage Vorwort zur dritten Auflage Vorwort zur vierten Auflage 1 Wichtige Phänomene des numerischen Rechnens

1.1 Numerische Algorithmen und Fehler

Eingabefehler Approximationsfehler Rundungsfehler Menschlicher Irrtum, Software- und Hardwarefehler

1.2 Fehlerfortpflanzung, Kondition und numerische Instabilität

Addition (bzw. Subtraktion) Multiplikation Division

1.3 Rundungsfehler bei Gleitpunkt-Arithmetik

Festpunktzahlen Gleitpunktzahlen

1.4 Aufgaben Notes

2 Lineare Gleichungssysteme

2.1 Auflösung gestaffelter Systeme 2.2 L⁢U-Faktorisierung und Gauß-Elimination

Beweis Algorithmus 2.1 (Gauß-Elimination)

2.3 Pivot-Strategien und Nachiteration

Algorithmus 2.2 (𝑘-ter Schritt der L⁢U-Faktorisierung mit Spaltenpivot-Strategie) Algorithmus 2.4 (Gauß-Elimination mit Spalten-Pivotisierung) Beweis Beweis Algorithmus 2.5 (Gauß-Elimination für A⁢X=B) Algorithmus 2.6 (Realisierung von (2.51))

2.4 Systeme mit speziellen Eigenschaften

2.4.1 Positiv definite Systeme 2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme 2.4.3 Die Formel von Sherman und Morrison

2.5 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen

2.5.1 Normen 2.5.2 Singulärwertzerlegung, SVD 2.5.3 Fehlerabschätzungen, Kondition 2.5.4 Rundungsfehleranalyse der Gauß-Elimination

2.6 Iterative Verfahren

2.6.1 Konvergenz der Nachiteration 2.6.2 Spektralradius und Konvergenz einer Matrix 2.6.3 Spezielle Iterationsverfahren 2.6.4 Ausblick: Entwicklung neuer Iterationsverfahren

2.7 Aufgaben Notes

3 Eigenwertprobleme

3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.1.1 Stetigkeitsaussagen 3.1.2 Eigenschaften symmetrischer Matrizen 3.1.3 Gerschgorin Kreise

3.2 Nichtsymmetrisches Eigenwertproblem: die Potenzmethode

3.2.1 Das Grundverfahren 3.2.2 Inverse Potenzmethode 3.2.3 Deflationstechniken

3.3 Symmetrisches Eigenwertproblem: Q⁢R-Methode

3.3.1 Transformationsmatrizen: Givens-Rotationen 3.3.2 Transformationsmatrizen: Householder-Reflexionen 3.3.3 Transformationsmatrizen: Schnelle Givens-Transformationen 3.3.4 Q⁢R-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme

3.4 Aufgaben Notes

4 Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen

4.1 Problemstellung 4.2 Fixpunkt-Iteration

Beweis Beweis Beweis Beweis

4.3 Newton-Verfahren und Sekanten-Verfahren

Beweis

4.4 Das Verfahren von Müller 4.5 Intervall-Verfahren

Beweis

4.6 Fehleranalyse der Iterationsverfahren

Definition 4.5 (Vermutung von Kung und Traub [39]) Beweis

4.7 Techniken zur Konvergenzbeschleunigung

Beweis Beweis

4.8 Ausblick: Verfahren höherer Konvergenzordnung 4.9 Globalisierung lokal konvergenter Verfahren

4.9.1 Dämpfungsstrategien 4.9.2 Homotopieverfahren

4.10 Nullstellen reeller Polynome

4.10.1 Anwendung des Newton-Verfahrens 4.10.2 Das QD-Verfahren

4.11 Aufgaben Notes

5 Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen

5.1 Fixpunkte von Funktionen mehrerer Variablen

Beweis

5.2 Newton-Verfahren

Algorithmus 5.1 (Newton-Verfahren) Beweis

5.3 Quasi-Newton-Verfahren

1. Iterationsschritt 2. Iterationsschritt 𝑖-ter Iterationsschritt (i≥2)

5.4 Das Verfahren von Brown

1. Teilschritt 2. Teilschritt 3. Teilschritt 𝑛-ter Teilschritt

5.5 Nichtlineares Ausgleichsproblem

5.5.1 Problemstellung 5.5.2 Gauß-Newton-Verfahren 5.5.3 Abstiegsverfahren 5.5.4 Levenberg-Marquardt-Verfahren

5.6 Deflationstechniken

Beweis Beweis

5.7 Zur Kondition nichtlinearer Gleichungen

Beweis Beweis

5.8 Aufgaben Notes

Liste der verwendeten Symbole Literatur Stichwortverzeichnis

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