Vivimos en un mundo de ondas. Nuestras orejas detectan ondas de compresión en el aire, llamamos a esto «oído». Nuestros ojos detectan ondas de radiación electromagnética, llamamos a esto «vista». Cuando un terremoto azota un pueblo o una ciudad, la destrucción la causan ondas en el cuerpo sólido de la Tierra. Cuando un barco se balancea en el océano, está reaccionando a las ondas en el agua. Los surfistas usan las ondas del mar como diversión; la radio, la televisión y gran parte de las redes de teléfonos móviles usan las ondas de la radiación electromagnética, similares a las que vemos, pero de longitudes de onda diferentes. Los microondas... bueno, el nombre lo dice todo, ¿no?

Con tantos ejemplos prácticos de ondas afectando a nuestra vida diaria, incluso desde hace siglos, los matemáticos que decidieron poner en práctica el descubrimiento épico de Newton de que la naturaleza tiene leyes difícilmente podrían evitar empezar a pensar en ondas. Aunque lo que les hizo empezar vino del arte, concretamente de la música. ¿Cómo la cuerda de un violín crea un sonido? ¿Qué lo provoca?

Había una razón para empezar con los violines, el tipo de razón que atrae a los matemáticos, aunque no a los gobiernos u hombres de negocios que dudan en invertir en matemáticas y esperan una retribución rápida. La cuerda de un violín puede ser modelada razonablemente como una línea infinitamente fina, y puede asumirse que su movimiento, el cual es claramente la causa del sonido que el instrumento hace, tiene lugar en un plano. Esto hace el problema «de dimensión baja», lo que quiere decir que hay posibilidades de resolverlo. Una vez has comprendido este ejemplo sencillo de ondas, es muy probable que la comprensión pueda transferirse, con frecuencia en pequeñas etapas, a ejemplos de ondas más realistas y más prácticos.

La alternativa, invertir precipitadamente en problemas sumamente complejos, puede parecer atractiva a políticos y capitanes de la industria, pero normalmente acaba estancándose en complejidades. A las matemáticas, la simplicidad les da alas y, si es necesario, los matemáticos la crearán artificialmente para proporcionar una ruta de entrada a problemas más complejos. Con desprecio se refieren a tales modelos como «juguetes», pero estos son juguetes con un propósito serio. Los modelos de juguete de ondas nos llevaron al mundo actual de la electrónica y comunicaciones globales a gran velocidad, aviones de pasajeros de fuselaje ancho y satélites artificiales, la radio, la televisión, sistemas de aviso de tsunamis... pero nunca habríamos logrado ninguna de estas cosas si no fuese porque unos pocos matemáticos empezaron resolviendo cómo funciona un violín, usando un modelo que no era realista, ni siquiera para un violín.

Los pitagóricos creían que el mundo se basaba en números, con ello quieren decir números naturales o las proporciones entre números naturales. Algunas de sus creencias tendían hacia lo místico, confiriendo a números específicos atributos humanos: 2 era el hombre, 3 la mujer, 5 simbolizaba el matrimonio, etcétera. El número 10 era muy importante para los pitagóricos porque era 1 + 2 + 3 + 4 y creían que había cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. Este tipo de especulación choca con la mentalidad moderna y resulta ligeramente disparatado, (bueno, al menos, con mi mentalidad), pero era razonable en una época en que los humanos estaban tan solo empezando a investigar el mundo que les rodeaba, buscando patrones cruciales. Fue necesario algo de tiempo para averiguar qué patrones eran importantes y cuáles eran escoria.

Uno de los grandes triunfos de la visión del mundo pitagórico vino de la música. Circulan varias historias; según una de ellas, Pitágoras estaba pasando por una herrería y se dio cuenta de que los martillos de diferentes tamaños hacían sonidos de tonos diferentes, y que los martillos relacionados por números sencillos —uno era el doble en tamaño que otro, por ejemplo— hacían sonidos que estaban en armonía. Por muy bonita que sea la historia, cualquiera que realmente lo intente con martillos reales descubrirá que los trabajos que se llevan a cabo en una herrería no son especialmente musicales, y los martillos tienen una forma bastante complicada para vibrar en armonía. Pero hay una pizca de verdad; en el conjunto, objetos pequeños emiten sonidos de tonos más altos que los grandes.

Las historias tienen una base más fuerte cuando se refieren a una serie de experimentos que los pitagóricos realizaron usando una cuerda estirada, un instrumento musical rudimentario conocido como monocordio. Tenemos conocimiento de estos experimentos porque Ptolomeo los documentó en su Harmónicos alrededor del año 150 d.C. Moviendo un soporte por varias posiciones a lo largo de la cuerda, los pitagóricos descubrieron que cuando dos cuerdas con la misma tensión tienen longitudes en una razón simple, como 2:1 o 3:2, producen notas armoniosas inusuales. Proporciones más complejas eran discordantes y desagradables al oído. Científicos posteriores llevaron estas ideas más lejos, probablemente un poco demasiado lejos; lo que nos parece agradable depende de la física del oído, que es más complicada que la de una sola cuerda, y también tiene una dimensión cultural porque los oídos de niños que están creciendo se entrenan al ser expuestos a los sonidos que son comunes en su sociedad. Predigo que los niños de hoy en día serán inusualmente sensibles a las diferencias en los tonos de llamada de los teléfonos móviles. Sin embargo, hay una historia científica sólida tras estas complejidades, y mucho de ello confirma y explica los descubrimientos tempranos de los pitagóricos con su instrumento experimental monocorde.

Los músicos describen pares de notas en términos de intervalo entre ellas, una medida de cuántos pasos las separan en la escala musical. El intervalo más fundamental es la octava, ocho teclas blancas en un piano. Las notas separadas una octava suenan muy similar, excepto que una nota es más alta que otra, y son extremadamente armoniosas. De hecho, tanto es así, que las armonías basadas en la octava pueden parecer un poco sosas. En un violín, el modo de tocar la nota una octava mayor en una cuerda suelta es presionar la mitad de esa cuerda contra el diapasón. Una cuerda la mitad de larga toca una nota una octava más alta. De modo que la octava está asociada con una razón numérica sencilla, 2:1.

Otros intervalos armoniosos están también asociados con proporciones numéricas simples. Las más importantes para la música occidental son la cuarta, una razón de 4:3, y la quinta, una razón de 3:2. Los nombres tienen sentido si consideras una escala musical de todas las notas C D E F G A B C.^* Con C como base, la nota correspondiente a la cuarta es F, la quinta es G y la octava C. Si numeramos las notas consecutivamente con la base como 1, estos son respectivamente la 4.ª, 5.ª y 8.ª notas a lo largo de la escala. La geometría es especialmente clara en un instrumento como una guitarra, que tiene segmentos de metal, «trastes», insertados en las posiciones relevantes. El traste para la cuarta está en un cuarto de la longitud de la cuerda, que para una quinta está a un tercio de la longitud y la octava está en la mitad. Puedes comprobar esto con un metro.

Estas proporciones ofrecen una base teórica para la escala musical y nos llevan a la(s) escala(s) más usadas en la actualidad en la mayoría de la música occidental. La historia es compleja, así que daré una versión simplificada. Por comodidad más adelante, a partir de ahora, reescribiré una razón 3:2 como una fracción 3/2. Empieza en una nota base y asciende en quintos, para obtener cuerdas de longitudes:

Operando, estas fracciones son:

Todas estas notas, excepto las dos primeras, son demasiado agudas para permanecer en una octava, pero podemos bajarlas en una o más octavas, dividiendo repetidamente las fracciones por 2 hasta que el resultado quede entre 1 y 2. Esto nos lleva a las fracciones:

Finalmente, ordenándolas de manera ascendente, tenemos:

Esto se corresponde de manera bastante próxima a las notas C D E G A B en un piano. Observa que F no está. De hecho, al oído, el hueco entre 81/64 y 3/2 suena más amplio que los otros. Para rellenar ese hueco, insertamos 4/3, la razón para la cuarta, que es muy próxima a F en el piano. También es útil completar la escala con una segunda C, una octava por encima, en razón de 2. Ahora obtenemos una escala musical basada totalmente en cuartos, quintos y octavos, con todos en las proporciones.

La longitud es inversamente proporcional al tono, así tendríamos que invertir las fracciones para obtener las longitudes correspondientes.

Hasta ahora hemos explicado todas las teclas blancas del piano, pero también hay teclas negras. Estas aparecen porque los números sucesivos en la escala tienen dos proporciones diferentes: 9/8 (llamado tono) y 256/243 (semitono). Por ejemplo, teniendo en cuenta la proporcionalidad inversa, 9/8 de 81/64 son 9/8, pero 81/64 de 4/3 son 256/243. Los nombres «tono» y «semitono» indican una comparación de intervalos aproximada. Numéricamente son 1,125 y 1,05. El primero es más grande, de modo que un tono se corresponde con un cambio mayor en la altura que un semitono. Dos semitonos dan una razón de 1,05², que es casi 1,11, no lejos de 1,25. Así que dos semitonos están cerca de un tono. No muy cerca, lo admito.

Continuando con esta pauta, podemos dividir cada tono en dos intervalos, cada uno próximo a un semitono, para obtener una escala de 12 notas. Esto puede hacerse de varios modos, obteniendo resultados ligeramente diferentes. Comoquiera que se haga, puede haber problemas sutiles pero audibles cuando se cambia la clave de una pieza de música; los intervalos cambian ligeramente si, por ejemplo, subimos todas las notas un semitono. Este efecto podría haberse evitado si hubiésemos escogido una razón específica para un semitono y lo arreglásemos para que su duodécima potencia fuese 2. Entonces dos semitonos harían un tono exacto, 12 semitonos harían una octava y podrías cambiar la escala subiendo o bajando todas las notas una cantidad fija.

Existe dicho número, concretamente la raíz doce de 2, que es alrededor de 1,059, y nos lleva a la denominada «escala temperada». Es un convenio, por ejemplo, en la escala temperada la razón 4/3 para un cuarto es 1,059⁵ = 1,335 en lugar de 4/3 = 1,333. Un músico muy entrenado puede detectar la diferencia, pero es fácil hacerse a ella y la mayoría de nosotros nunca nos daríamos cuenta.

La teoría pitagórica de la armonía en la naturaleza, entonces, está realmente incluida en las bases de la música occidental. Para explicar por qué proporciones simples van mano a mano con la armonía musical tenemos que echar un vistazo a la física de una cuerda vibrando. La psicología de la percepción humana también entra en juego, pero no todavía.

La clave es la segunda ley del movimiento de Newton, que relaciona aceleración con fuerza. También necesitas saber cómo la fuerza ejercida por una cuerda bajo tensión cambia a medida que la cuerda se mueve, estirándose o contrayéndose ligeramente. Para esto, usamos algo que el reticente contrincante de Newton, Hooke, descubrió en 1660, llamado la ley de Hooke: el cambio en la longitud de un muelle es proporcional a la fuerza ejercida en él (una cuerda de violín es de hecho un tipo de muelle, de modo que aplica la misma ley). Todavía queda un obstáculo. Podemos aplicar la ley de Newton a un sistema compuesto de un número finito de masas; obtenemos una ecuación por masa, y entonces lo hacemos lo mejor que podemos para resolver el sistema resultante. Pero una cuerda de violín es un continuo, una línea compuesta de infinidad de puntos. De modo que los matemáticos de la época pensaron en la cuerda como un gran número de masas de puntos muy juntas, ligadas unas a otras por los muelles de la ley de Hooke. Escribieron las ecuaciones ligeramente simplificadas para que se pudieran resolver y las resolvieron; finalmente permitieron que el número de masas se hiciese arbitrariamente grande, y calcularon qué pasaba con la solución.

Johann Bernoulli llevó a cabo estos pasos en 1727, y el resultado fue extraordinariamente bonito, considerando qué dificultades se estaban escondiendo. Para evitar confusión en la descripción que sigue, imagina que el violín está apoyado sobre su parte trasera con la cuerda horizontal. Si tiras de la cuerda, vibra arriba y abajo en ángulos rectos con el violín. Esta es la imagen a tener en mente. El uso del arco provoca que la cuerda vibre hacia los lados, y la presencia del arco es confusa. En el modelo matemático, todo lo que tenemos es una cuerda, fija en los extremos, y ningún violín; la cuerda vibra arriba y abajo en el plano. En este sistema, Bernoulli encontró que la forma de la cuerda vibrante, en cualquier instante de tiempo, era una curva sinusoidal. La amplitud de la vibración —la altura máxima de la curva— también seguía una curva sinusoidal en el tiempo en vez del espacio. Usando la simbología, su solución era como sen ct sen x, donde c es una constante (figura 35). La parte espacial, sen x, nos dice la forma, pero está multiplicada por un factor, sen ct, en el tiempo t. La fórmula dice que la cuerda vibra arriba y abajo, repitiendo el mismo movimiento una y otra vez. El período de oscilación, el tiempo entre las repeticiones sucesivas, es 2π/c.

FIGURA 35. Instantáneas sucesivas de una cuerda vibrando. La forma es una curva sinusoidal en cada instante. La amplitud también varía sinusoidalmente con el tiempo.

Esta era la solución más simple que Bernoulli obtuvo, pero había otras; todas ellas curvas sinusoidales, diferentes «modos» de vibrar, con 1, 2, 3 o más ondas a lo largo de la longitud de la cuerda (figura 36). De nuevo, la curva sinusoidal era una instantánea de la forma en cualquier instante, y su amplitud se multiplicaba por un factor que dependía del tiempo, que también variaba sinusoidalmente. Las fórmulas eran sen 2ct sen 2x, sen 3ct sen 3x, etcétera. Los períodos de vibración eran 2π/2c, 2π/3c, etcétera; de modo que cuantas más ondas había, más rápido se movía la cuerda.

La cuerda está siempre inmóvil en sus extremos, por la construcción del instrumento y las suposiciones del modelo matemático. En todos los modos excepto el primero, hay puntos adicionales donde la cuerda no está vibrando, y estos se dan donde la curva se cruza con el eje horizontal. Estos «nodos» son la razón matemática para que ocurran proporciones numéricas sencillas en los experimentos pitagóricos. Por ejemplo, como el segundo y el tercer modos de vibración se dan en la misma cuerda, el hueco entre nodos sucesivos en la curva del segundo modo es el hueco en la curva del tercer modo multiplicado por 3/2. Esto explica por qué las proporciones como 3:2 surgen de manera natural a partir de las dinámicas del muelle que vibra, pero no por qué estas proporciones son armoniosas mientras que otras no lo son. Antes de abordar esta cuestión, introducimos el tema principal de este capítulo: la ecuación de onda.

FIGURA 36. Instantáneas de modos 1, 2, 3 de una cuerda vibrando. En cada caso, la cuerda vibra arriba y abajo y su amplitud varía sinusoidalmente con el tiempo. Cuantas más ondas hay, más rápida es la vibración.

La ecuación de onda surge a partir de la segunda ley de movimiento de Newton si aplicamos la aproximación de Bernoulli al nivel de ecuaciones más que al de las soluciones. En 1746, Jean Le Rond d’Alembert siguió un procedimiento estándar, tratando una cuerda de violín vibrando como una colección de masas puntuales, pero en vez de resolver las ecuaciones y buscar un patrón cuando el número de masas tendía a infinito, calculó qué sucedía con las propias ecuaciones. Obtuvo una ecuación que describe cómo cambia la forma de la cuerda en el tiempo. Pero antes de que te muestre qué aspecto tiene, necesitamos una idea nueva, llamada una «derivada parcial».

Imagínate a ti mismo en medio del océano, observando las olas que pasan con diferentes formas y tamaños. A medida que lo hacen, te balanceas arriba y abajo. Físicamente puedes describir cómo está cambiando lo que te rodea de diferentes maneras. En particular, te puedes centrar en el cambio en el tiempo o en los cambios en el espacio. A medida que el tiempo pasa en tu posición, la velocidad a la que tu altura cambia con respecto al tiempo es la derivada (en el sentido del cálculo, capítulo 3) de tu altura, también con respecto al tiempo. Pero esto no describe la forma del océano que está a tu alrededor, solo cómo de altas son las olas cuando pasan por donde estás tú. Para describir la forma, puedes congelar el tiempo (conceptualmente) y calcular cómo de altas son las olas, no solo en tu posición, sino en todas las cercanas. Entonces puedes usar el cálculo para determinar cómo de abruptamente las olas se inclinan en tu localización. ¿Están en un pico o en un hoyo? Si es así, la pendiente es cero. ¿Estás a medio camino del lado que desciende de la ola? Si es así, la pendiente es bastante grande. En términos del cálculo, puedes poner un número a esa pendiente calculando la derivada de la altura de las olas respecto al espacio.

Si una función u depende solo de una variable, llamémosla x, escribimos la derivada como du/dx: «un pequeño cambio en u dividido por un pequeño cambio en x». Pero en el contexto de las olas del mar la función u, la altura de la ola, no solo depende del espacio x, sino que también depende del tiempo t. En cualquier instante fijo del tiempo, podemos todavía calcular du/dx, que nos dice la pendiente local de la ola. Pero en lugar de fijar el tiempo y permitir que el espacio varíe, podemos fijar el espacio y permitir que el tiempo varíe, esto nos dice la velocidad a la que estamos balanceándonos. Podemos usar la notación du/dt para esta «derivada del tiempo» e interpretarla como «un pequeño cambio en u dividido por un pequeño cambio en t». Pero esta notación esconde una ambigüedad, el pequeño cambio en la altura, du, podría ser, y normalmente es, diferente en los dos casos. Si olvidas eso, es probable que hagas tus cálculos mal. Cuando estamos derivando con respecto al espacio, permitimos a la variable del espacio cambiar un poco y ver cómo la altura cambia; cuando estamos derivando con respecto al tiempo, permitimos a la variable del tiempo cambiar un poco y ver cómo la altura cambia. No hay ninguna razón por la que los cambios en el tiempo deban ser iguales a los cambios en el espacio.

De modo que los matemáticos decidieron recordarse a sí mismos esta ambigüedad cambiando el símbolo d por algo que no (directamente) les hiciese pensar en «pequeño cambio». Se decidieron por una d curvada muy linda, escrita ∂. Luego escribieron las dos derivadas como ∂u/∂x y ∂u/∂t. Puedes argumentar que esto no es un gran avance, porque es igual de fácil confundir los dos significados diferentes de ∂u. Hay dos respuestas a esta crítica. Una es que en este contexto se supone que no piensas en ∂u como un pequeño cambio específico en u. La otra es que usando un símbolo nuevo y chic te acuerdas de que no te tienes que confundir. La segunda respuesta definitivamente funciona; tan pronto como ves ∂, te dice que estarás viendo las tasas de variación con respecto a varias variables diferentes. Estas tasas de variación son llamadas derivadas parciales, porque conceptualmente solo cambias parte del conjunto de variables, manteniendo el resto fijas.

Cuando D’Alembert calculó su ecuación para la cuerda vibrando, se enfrentó justo a esta situación. La forma de la cuerda dependía del espacio —cuánta longitud de cuerda observes— y del tiempo. La segunda ley de movimiento de Newton le dijo que la aceleración de un pequeño segmento de cuerda es proporcional a la fuerza que actúa sobre él. La aceleración es una (segunda) derivada del tiempo. Pero la fuerza está causada por los segmentos vecinos de la cuerda tirando del segmento en el que estamos interesados, y «vecinos» quiere decir pequeños cambios en el espacio. Cuando calculó estas fuerzas, obtuvo la ecuación:

Donde u(x, t) es la posición vertical en la localización x en la cuerda en el momento t, y c es una constante relacionada con la tensión en la cuerda y cómo de elástica es. Los cálculos eran realmente más fáciles que los de Bernoulli, porque evitaban introducir características especiales de soluciones particulares.¹

La elegante fórmula de D’Alembert es la ecuación de onda. Como la segunda ley de Newton, es una ecuación diferencial y está involucrada la derivada (segunda) de u. Ya que hay derivadas parciales, es una ecuación en derivadas parciales. La segunda derivada del espacio representa la fuerza neta actuando en la cuerda, y la segunda derivada del tiempo es la aceleración. La ecuación de onda sienta un precedente: la mayoría de las ecuaciones clave de la física matemática clásica, y muchas de la moderna, son ecuaciones en derivadas parciales.

Una vez D’Alembert había escrito su ecuación de onda, estaba en situación de resolverla. Esta tarea era mucho más fácil porque resultó ser una ecuación lineal. Las ecuaciones en derivadas parciales tienen muchas soluciones, habitualmente infinidad, porque cada estado inicial lleva a una solución distinta. Por ejemplo, la cuerda del violín puede en principio curvarse en cualquier forma que quieras, antes de soltarse y que la ecuación de ondas tome el mando. «Lineal» quiere decir que si u(x, t) y v(x, t) son soluciones, entonces lo es cualquier combinación lineal au(x, t) + bv(x, t), donde a y b son constantes. Otro término es «superposición». La linealidad de la ecuación de onda es producto de la aproximación que Bernoulli y D’Alembert tuvieron que hacer para obtener algo que pudiesen resolver; todas las alteraciones se presuponían pequeñas. Ahora una combinación lineal de desplazamientos de masas individuales puede ser una buena aproximación de la fuerza ejercida por la cuerda. Una aproximación mejor llevaría a una ecuación en derivadas parciales no lineal, y la vida sería muchísimo más complicada. A la larga, estas complicaciones tienen que afrontarse de frente, pero los precursores ya tenían suficiente con lo que lidiar, así que trabajaron con una ecuación aproximada, pero muy elegante, y restringieron su atención a ondas de amplitud pequeña. Funcionaba muy bien. De hecho, también funcionaba bastante bien para ondas de amplitudes mayores, un plus de suerte.

D’Alembert sabía que estaba en la senda correcta porque encontró soluciones en las cuales una forma fija viajaba a través de la cuerda, justo como una onda.² La velocidad de la onda resultó ser la constante c en la ecuación. La onda puede moverse tanto a izquierda como a derecha, y aquí el principio de superposición entra en juego. D’Alembert probó que toda solución es una superposición de dos ondas, una desplazándose hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Además, cada onda separada podía tener cualquier forma fuera la que fuera.³ Las ondas de posición encontradas en la cuerda del violín, con extremos fijos, resultaron ser una combinación de dos ondas con la misma forma, siendo la una la inversa de la otra, con una desplazándose a la izquierda y la otra (al revés) desplazándose a la derecha. En los extremos, las dos ondas se anulaban la una a la otra; picos de una coincidían con hoyos de la otra. De modo que cumplían con las condiciones de contorno físicas.

Los matemáticos ahora tenían un empacho de soluciones. Había dos modos de resolver la ecuación: la de Bernoulli, que llevaba a los senos y cosenos, y la de D’Alembert, que llevaba a ondas con cualquier forma que se desease. Al principio, parecía como si la solución de D’Alembert fuera a ser más general; senos y cosenos son funciones, pero la mayoría de las funciones no son senos y cosenos. Sin embargo, la ecuación de onda es lineal, así que podrías combinar las soluciones de Bernoulli añadiendo múltiplos constantes. Para mantenerlo simple considera solo un instante de un tiempo fijo, librándote de la dependencia del tiempo. La figura 37 muestra 5 sen x + 4 sen 2x – 2 cos 6x, por ejemplo. Tiene una forma bastante irregular, y se curva mucho, pero es todavía suave y ondulada.

FIGURA 37. Combinación típica de senos y cosenos con varias amplitudes y frecuencias.

Lo que molestaba a los matemáticos más reflexivos era que algunas funciones eran muy abruptas y con picos, y no puedes obtenerlas como una combinación lineal de senos y cosenos. Bueno, no si usas una cantidad finita de términos, y eso sugería una salida. Una serie infinita convergente de senos y cosenos (una cuya suma en el infinito tenga sentido) también satisface la ecuación de onda. ¿Permitiría esto funciones dentadas a la vez que suaves? Los matemáticos importantes discutieron sobre esta cuestión, que finalmente llegó a un punto crítico cuando el mismo tema apareció en la teoría del calor. Los problemas sobre el flujo del calor involucraban de manera natural funciones discontinuas, con saltos repentinos, que eran incluso peores que las dentadas. Contaré esa historia en el capítulo 9, pero el resultado es que la mayoría de ondas con formas «razonables» pueden representarse por una serie infinita de senos y cosenos, de modo que pueden aproximarse tanto como se quiera por combinaciones finitas de senos y cosenos.

Los senos y cosenos explican las proporciones armoniosas que tanto impresionaron a los pitagóricos. Estas formas especiales de ondas son importantes en la teoría del sonido porque representan tonos «puros», notas sueltas en un instrumento ideal, por así decirlo. Cualquier instrumento real produce mezcla de notas puras. Si tiras de la cuerda de un violín, la nota principal que oyes es la onda de sen x, pero superpuesta hay un poco de sen 2x, quizá algo de sen 3x, etcétera. La nota principal se llama la fundamental y las otras son sus armónicos. El número delante de x se llama el número de onda. Los cálculos de Bernoulli nos dicen que el número de onda es proporcional a la frecuencia, el número de veces que la cuerda vibra, para esa particular onda sinusoidal, durante una oscilación individual de la fundamental.

En concreto, sen 2x tiene dos veces la frecuencia de sen x. ¿Cómo hace que suene? Es la nota una octava más alta. Es la nota que suena más armoniosa cuando se toca al lado de la fundamental. Si observas la forma de una cuerda durante el segundo modo (sen 2x) en la figura 36, te darás cuenta de que cruza el eje en sus puntos medios así como en los dos extremos. Permanece fija en ese punto, conocido como nodo. Si colocas tu dedo en ese punto, las dos mitades de la cuerda todavía serán capaces de vibrar siguiendo el patrón de sen 2x, pero no el de sen x. Esto explica el descubrimiento pitagórico de que una cuerda la mitad de larga produce una nota una octava mayor. Una explicación similar se ocupa de otras de proporciones simples que descubrieron, todas están asociadas con las curvas sinusoidales cuyas frecuencias tienen esa razón y dichas curvas encajan unas con otras pulcramente en una cuerda de una longitud fija cuyos extremos no está permitido que se muevan.

¿Por qué suenan armoniosas estas proporciones? Parte de la explicación es que las ondas senos con frecuencias que no están en proporciones simples producen un efecto llamado «batimiento» cuando se superponen. Por ejemplo, una proporción como 11: 23 se corresponde con sen 11x + sen 23x, que tiene el aspecto de la figura 38, con muchos cambios repentinos en la forma. Otra parte es que el oído responde a sonidos entrantes aproximadamente del mismo modo que la cuerda del violín. El oído también vibra. Cuando dos notas baten, el sonido correspondiente es como un zumbido que se va haciendo repetidamente más fuerte y más suave. De manera que no suena armonioso. Sin embargo, hay una tercera parte de la explicación: los oídos de los bebés se van compenetrando con los sonidos que oyen con más frecuencia. Hay más conexiones nerviosas del cerebro al oído de las que hay en la otra dirección. Así el cerebro ajusta la respuesta del oído a los sonidos entrantes. En otras palabras, lo que consideramos que es armonioso tiene una dimensión cultural. Pero las proporciones más simples son armoniosas de manera natural, de modo que la mayoría de las culturas las usan.

FIGURA 38. Batimientos.

Los matemáticos primero obtuvieron la ecuación de onda en la versión más simple que se les ocurrió: una recta vibrando, un sistema unidimensional. Las aplicaciones realistas requieren una teoría más general, hacer modelos de ondas en dos y tres dimensiones. Incluso aunque nos quedemos en el terreno de la música, un tambor necesita dos dimensiones para hacer un modelo de los patrones según los cuales vibra la piel del tambor. Lo mismo se aplica para las olas marinas en la superficie del océano. Cuando hay un terremoto, toda la Tierra repica como una campana, y nuestro planeta es tridimensional. Muchas otras áreas de la física contienen modelos con dos y tres dimensiones. Extender la ecuación de onda a dimensiones mayores resultó ser directo y sencillo, todo lo que tenías que hacer era repetir el mismo tipo de cálculos que habían funcionado para la cuerda del violín. Al haber aprendido a jugar con la versión más simple del juego, no era difícil jugar con él de verdad.

En tres dimensiones, por ejemplo, usamos tres coordenadas espaciales (x, y, z) y el tiempo t. La onda está descrita por una función u que depende de estas cuatro coordenadas. Por ejemplo, esto podría describir la presión en un cuerpo de aire a medida que la onda de sonido pasa a través de él. Haciendo las mismas suposiciones que D’Alembert, en concreto que la amplitud de la alteración es pequeña, la misma aproximación nos lleva a una ecuación igualmente bella.

La fórmula dentro de los paréntesis se llama laplaciano, y se corresponde con la diferencia media entre el valor de u en el punto en cuestión y su valor cerca. Esta expresión aparece con tanta frecuencia en la física matemática que tiene su propio símbolo especial: ∇²u. Para obtener el laplaciano en dos dimensiones, tan solo omitimos el término con z y nos lleva a la ecuación de onda en esa versión.

La principal novedad en dimensiones mayores es que la forma con la que las ondas aparecen, llamada el dominio de la ecuación, puede ser complicada. En una dimensión la única forma relacionada es un intervalo, un segmento de la recta. Sin embargo, en dos dimensiones, puede ser cualquier forma que puedas dibujar en el plano y en tres dimensiones, cualquier forma en el espacio. Puedes hacer un modelo de un tambor cuadrado, un tambor rectangular, un tambor circular,⁴ o un tambor con la forma de la silueta de un gato. Para los terremotos, podrías emplear un dominio esférico, o para una precisión mayor, un elipsoide ligeramente aplastado en los polos. Si estás diseñando un coche y quieres eliminar vibraciones no deseadas, tu dominio debería tener la forma de un coche, o cualquier parte del coche en la que los ingenieros se quieran centrar.

Para cualquier forma de dominio escogida, hay funciones análogas a los senos y cosenos de Bernoulli, los patrones de vibración más simples. Estos patrones se llaman modos, o modos normales si quieres dejar totalmente claro de lo que estás hablando. Todas las otras ondas se pueden obtener al superponer los modos normales, de nuevo usando una serie infinita si es necesario. Las frecuencias de los modos normales representan las frecuencias de vibración naturales del dominio. Si el dominio es rectangular, estas son funciones trigonométricas de la forma sen mx cos ny, para enteros m y n, produciendo ondas con formas como las de la figura 39 (izquierda). Si es un círculo, están determinadas por funciones nuevas, llamadas funciones de Bessel, con formas más interesantes, figura 39 (derecha). Las matemáticas resultantes se aplican no solo a tambores, sino a olas del mar, ondas de sonido, ondas electromagnéticas como las de la luz (capítulo 11), incluso ondas cuánticas (capítulo 14). Es fundamental en todas estas áreas. El laplaciano también aparece en ecuaciones para otros fenómenos físicos, en concreto, campos de gravitación, eléctricos y magnéticos. El truco favorito de los matemáticos de empezar con un modelo de juguete, uno tan simple que no es posible que sea realista, amortiza mucho tiempo en el caso de las ondas.

Esta es una razón por la que no es sabio juzgar la idea matemática por el contexto en el cual surge por primera vez. Hacer un modelo de la cuerda de un violín podía parecer que no tenía sentido cuando lo que querías era comprender terremotos. Pero si te metes de lleno en lo más complicado, y tratas de enfrentarte con todas las complejidades de los terremotos reales, te ahogarás. Debes empezar mojándote los pies en una zona poco profunda y ganar confianza para hacer unos largos en la piscina. Entonces estarás listo para un trampolín alto.

FIGURA 39. A la izquierda: instantánea del primer modo de vibración de un tambor rectangular, con número de onda 2 y 3. A la derecha: instantánea del primer modo de vibración de un tambor circular.

La ecuación de ondas fue un éxito espectacular, y en algunas áreas de la física describe una muy buena aproximación a la realidad. Sin embargo, obtenerla requiere varias suposiciones de simplificación. Cuando estas suposiciones no son realistas, las mismas ideas físicas se pueden modificar para que se adapten al contexto, llevando a diferentes versiones de la ecuación de onda.

Los terremotos son un ejemplo típico. Aquí el principal problema no es la suposición de D’Alembert de que la amplitud de la onda es pequeña, sino los cambios en las propiedades físicas del dominio. Estas propiedades pueden tener un efecto fuerte en las ondas sísmicas, vibraciones que se desplazan a través de la Tierra. Entendiendo estos efectos, podemos mirar a lo más profundo de nuestro planeta y averiguar de qué está hecho.

Hay dos tipos principales de ondas sísmicas: ondas primarias o de presión y ondas secundarias o de superficie, normalmente abreviadas como ondas P y ondas S. (Hay otras muchas; esto es una simplificación, cubriendo algunos de los puntos esenciales.) Ambas pueden darse en un medio sólido, pero las ondas S no se dan en fluidos. Las ondas P son ondas de presión, análogas a las ondas de sonido en el aire, y los cambios de presión indican la dirección en la que la onda se propaga. Dichas ondas se dice que son longitudinales. Las ondas S son ondas transversales, cambian en ángulos rectos respecto a la dirección del desplazamiento, como las ondas de una cuerda de violín. Provocan que los sólidos se partan, es decir, se deformen como una baraja de cartas que se empuja por los laterales de modo que las cartas se desplazan a lo largo una de la otra. Los fluidos no se comportan como barajas de cartas.

Cuando ocurre un terremoto, envía ambos tipos de onda. Las ondas P viajan más rápido, de modo que un sismólogo en algún punto de la superficie de la Tierra observa estas primero. Luego, llegan las ondas S, más lentas. En 1906, el geólogo inglés Richard Oldham explotó esta diferencia para hacer un descubrimiento importante sobre el interior de nuestro planeta. En términos generales, la Tierra tiene un núcleo de hierro, rodeado por un manto rocoso, y los continentes flotan sobre ese manto. Oldham sugirió que las capas externas del núcleo deben ser líquidas. Si es así, las ondas S no pueden pasar a través de estas regiones, pero las ondas P sí que pueden. De modo que existe una especie de sombra de ondas S, y puedes averiguar dónde está observando señales de los terremotos. El matemático inglés Harold Jeffreys resolvió los detalles en 1926 y confirmó que Oldham tenía razón.

Si un terremoto es lo suficientemente grande, puede causar que el planeta entero vibre en uno de sus modos normales, los análogos para la Tierra de los senos y cosenos para un violín. El planeta entero repica como una campana, en un sentido que sería literal si solo pudiésemos oír las frecuencias involucradas muy bajas. Instrumentos lo suficiente sensibles para registrar estos modos surgieron en los años sesenta del siglo XX, y se usaron para observar los dos terremotos más potentes registrados científicamente por aquel entonces. Fueron el terremoto en Chile de 1960 (magnitud 9,5) y el terremoto en Alaska de 1964 (magnitud 9,2). El primero mató a alrededor de 5.000 personas; el segundo mató a alrededor de 130 gracias a su localización remota. Ambos causaron tsunamis y provocaron enormes daños. Ambos ofrecieron una visión sin precedentes del interior más profundo de la Tierra, provocando los modos de vibración básicos de la Tierra.

Versiones sofisticadas de la ecuación de ondas han dado a los sismólogos la habilidad para ver qué está sucediendo a cientos de kilómetros bajo nuestros pies. Pueden hacer un mapa de las placas tectónicas de la Tierra a medida que una se desliza bajo otra, lo que se conoce como subducción. La subducción provoca terremotos, especialmente los conocidos como megaterremotos, como los dos que se acaban de mencionar. También provoca la elevación de cadenas montañosas a lo largo de los límites de los continentes como los Andes, y volcanes, donde la placa llega tan al fondo que empieza a fundirse y el magma sube a la superficie. Un descubrimiento reciente es que las placas no necesitan subducirse como un todo, sino que pueden romperse en bloques gigantescos, hundiéndose bajo el manto a profundidades diferentes.

El mayor premio en esta área sería un modo fiable de predecir terremotos y erupciones volcánicas. Lo que está resultando escurridizo, porque las condiciones que desencadenan dichos sucesos son combinaciones complejas de muchos factores en muchas localizaciones. Sin embargo, se han hecho algunos progresos, y la versión de los sismólogos de la ecuación de onda respalda muchos de los métodos que se están investigando.

Las mismas ecuaciones tienen aplicaciones más comerciales. Las compañías petrolíferas buscan oro negro, a pocos kilómetros bajo tierra, provocando explosiones en la superficie para diseñar la geología subyacente, usando el eco que vuelve a partir de las ondas sísmicas generadas. El principal problema matemático aquí es reconstruir la geología a partir de las señales recibidas, que es un poco como usar la ecuación de onda hacia atrás. En lugar de resolver la ecuación en un dominio conocido y calcular las ondas que causa, los matemáticos usan los patrones de ondas observados para reconstruir las características geológicas del dominio. Como es frecuente en estos casos, trabajar hacia atrás —resolver el problema inverso, en la jerga— es más difícil que ir en el otro sentido. Pero existen métodos prácticos. Una de las compañías petrolíferas más importantes realiza estos cálculos un cuarto de un millón de veces cada día.

Perforar en busca de petróleo tiene sus propios problemas, como dejó claro el reventón en la plataforma petrolífera Deepwater Horizon en 2010. Pero por el momento, la sociedad humana depende muchísimo del petróleo, y llevaría décadas reducir esto de manera significativa, incluso aunque todo el mundo quisiera. La próxima vez que llenes tu depósito, acuérdate de los pioneros matemáticos que quisieron saber cómo un violín producía su sonido. No era un problema práctico entonces, y sigue sin serlo hoy en día. Pero sin sus descubrimientos, tu coche no te llevaría a ningún lado.