12.5    DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel

Bei einem gekoppelten Fadenpendel sind die Massen von zwei Fadenpendeln mit einer Schraubenfeder verbunden. Die Feder bewirkt, dass die Schwingungen beider Fadenpendel durch die Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems beeinflusst werden. Abbildung 12.8 zeigt ein gekoppeltes Fadenpendel mit den Massen m, den Fadenlängen l und den Auslenkwinkeln φ₁ und φ₂.

Abbildung 12.8     Gekoppeltes Fadenpendel

Der Schwingungsverlauf eines gekoppelten Fadenpendels kann mit dem folgenden expliziten DGL-System beschrieben werden [Arens: 1052]:

Die Frequenzen der Pendelschwingungen werden außer von den Pendellängen auch noch durch die Federkonstante c beeinflusst. Die Dämpfungseinflüsse sollen nicht berücksichtigt werden.

Mit den Abkürzungen

und

löst Listing 12.8 das DGL-System mit dem Summenalgorithmus (Zeilen 17 bis 22). Die Anfangswerte für die beiden Winkel betragen 3° und 6° (Zeile 08). Beide Kreisfrequenzen haben einen Anfangswert von 0 (Zeile 13).

01  #08_plot_pendel2.py
02  from math import degrees,radians
03  import matplotlib.pyplot as plt
04  g=9.81 #kgm/s^2
05  l=0.2  #Länge des Pendels in m
06  m=0.2  #Masse in kg
07  c=1.0  #N/m Federkonstante
08  phi1,phi2=3,6 #Auslenkwinkel in °
09  phi1,phi2=radians(phi1),radians(phi2)
10  n=500
11  t1,t2=0,10
12  dt=(t2-t1)/n
13  w1=w2=0
14  w02=g/l 
15  k=c/m
16  lt,lw1,lphi1,lw2,lphi2 =[],[],[],[],[]
17  for i in range(n):
18      t=t1+i*dt
19      phi1=phi1+w1*dt 
20      w1=w1-w02*phi1*dt-k*(phi1-phi2)*dt
21      phi2=phi2+w2*dt 
22      w2=w2-w02*phi2*dt+k*(phi1-phi2)*dt
23      lt.append(t)
24      lphi1.append(degrees(phi1))
25      lphi2.append(degrees(phi2))
26      lw1.append(w1)
27      lw2.append(w2)
28  #Grafikbereich
29  fig,ax = plt.subplots() 
30  ax.plot(lt,lphi1,'r-', label=r'$\varphi_1 \left(t\right)$')
31  ax.plot(lt,lphi2,'b--',label=r'$\varphi_2 \left(t\right)$')
32  ax.set_title('gekoppeltes Pendel')
33  ax.set(xlabel='t',ylabel=r'$\varphi \left(t\right)$')
34  ax.legend(loc='best')
35  ax.grid(True)
36  plt.show()

Listing 12.8     Lösung eines DGL-Systems für ein gekoppeltes Fadenpendel

Ausgabe

Abbildung 12.9     Schwingungen eines gekoppelten Fadenpendels

Analyse

Das System der zwei Differenzialgleichungen wird wieder mit dem Summenalgorithmus (Zeilen 17 bis 22) gelöst. Bis auf die zusätzlichen Anweisungen in den Zeilen 21 und 22 für das zweite Pendel sind gegenüber Listing 12.7 keine wesentlichen Änderungen erkennbar. Die beiden Differenzialgleichungen sind über die zwei Auslenkwinkel phi1 und phi2 miteinander gekoppelt (Zeilen 19 und 21).