Diese drei zusätzlichen Vorlesungen werden ziemlich langweilig: Wir behandeln denselben Stoff wie vorher und absolut nichts Neues. Deshalb bin ich sehr überrascht, dass Sie so zahlreich erschienen sind. Ehrlich gesagt, ich hatte eigentlich gehofft, dass nicht so viele von Ihnen hier auftauchen würden und dass diese Vorlesungen überflüssig sein würden.
Sie sollen hier Gelegenheit bekommen, sich zu entspannen, Zeit zum Nachdenken haben und mit den Dingen, von denen Sie gehört haben, etwas herumspielen können. Das ist wahrscheinlich der effektivste Weg, um Physik zu lernen. Einfach hereinzukommen und sich eine Vorlesung zur Wiederholung anzuhören ist dagegen keine gute Idee. Besser ist es, wenn Sie selbst die Vorlesungen nacharbeiten. Deshalb rate ich Ihnen – sofern Sie nicht völlig ahnungslos, verwirrt und durcheinander sind –, dass Sie diese Vorlesungen sausen lassen und einfach selbst ein wenig ausprobieren und versuchen herauszufinden, was für Sie interessant ist, ohne sich allerdings an irgendeinem speziellen Thema festzubeißen. Sie werden sehr viel besser und leichter und vollständiger lernen, wenn Sie sich ein Problem herauspicken, das Sie interessant finden und an dem Sie gern herumspielen möchten – irgendetwas, das Sie gehört haben und nicht verstehen, oder das Sie näher analysieren oder mit dem Sie mal etwas Kniffliges ausprobieren möchten – das ist die beste Art und Weise Dinge zu begreifen.
Die bisherigen Vorlesungen sind ein neuer Kurs und konzipiert worden, um ein bekanntes Problem zu lösen: Kein Mensch weiß, wie man den Leuten Physik beibringen und sie unterrichten soll. Das ist eine Tatsache, und wenn Sie die Art und Weise, wie das hier geschieht, nicht mögen, dann ist das völlig normal. Man kann einfach nicht zufrieden stellend unterrichten: Seit Jahrhunderten oder noch länger versuchen die Menschen herauszufinden, wie man lehrt, aber niemand hat es bisher geschafft. Wenn Sie also dieser neue Kurs nicht zufrieden stellt, dann ist das nichts Besonderes.
Am Caltech ändern wir immer wieder die Kurse in der Hoffnung, dass wir sie dadurch verbessern. So haben wir dieses Jahr den Physikkurs wieder verändert. Eine der Beschwerden in den letzten Jahren war, dass die leistungsstärkeren Studenten die gesamte Mechanik langweilig fanden: Sie büffelten, machten Aufgaben, beschäftigten sich mit Wiederholungen und legten Prüfungen ab und es war keine Zeit, sich Gedanken über irgendetwas zu machen. Es gab nichts Aufregendes, keinen Bezug zur modernen Physik oder Ähnliches. Und deshalb sollte die Vorlesungsreihe in dieser Hinsicht besser sein und diesen Studenten helfen, indem wir die Verbindung zum Rest des Universums herstellen und das Thema auf diese Weise möglichst etwas interessanter gestalten.
Andererseits hat eine solche Herangehensweise den Nachteil, dass sie viele Leute verwirrt, weil sie nicht wissen, was sie lernen sollen – oder besser gesagt, es gibt so viel Stoff, dass sie nicht alles lernen können, und es fehlt ihnen an der erforderlichen Intelligenz um herauszufinden, was sie interessant finden, und sich dann nur auf diese Sache zu konzentrieren.
Deshalb wende ich mich an jene von Ihnen, die die Vorlesungen sehr verwirrend, lästig und irritierend fanden, die nicht wissen, was sie lernen sollen, und die sich etwas verloren fühlen. Die anderen, die sich nicht verloren fühlen, sollten nicht hier sein und ihnen gebe ich jetzt die Gelegenheit zu gehen …13
Ich sehe schon, keiner traut sich. Oder ich bin hier die Fehlbesetzung, wenn jeder sich verloren fühlt! (Vielleicht sind Sie auch nur zur Unterhaltung hier.)
So, jetzt stelle ich mir vor, dass einer von Ihnen in mein Büro kommt und sagt: „Feynman, ich habe alle Ihre Vorlesungen gehört und meine Zwischenprüfung abgelegt. Ich versuche, die Aufgaben zu lösen, und ich kann nichts. Ich glaube, ich bin der Schwächste in der Gruppe. Ich weiß nicht, was ich machen soll.“
Was würde ich Ihnen sagen?
Als Erstes würde ich Sie auf Folgendes hinweisen: Die Aufnahme am Caltech hat Vor- und Nachteile. Die Vorteile haben Sie mal gekannt, aber mittlerweile vergessen, und sie haben damit zu tun, dass diese Universität einen ausgezeichneten Ruf hat. Der gute Ruf ist zweifellos gerechtfertigt. Es gibt sehr gute Kurse. (Was diesen Physikkurs angeht, weiß ich nicht so recht … natürlich habe ich meine eigene Meinung dazu.) Diejenigen, die das Caltech geschafft haben, sagen, wenn sie in die Industrie oder in die Forschung gehen, dass sie hier eine sehr gute Ausbildung bekommen haben, und wenn sie sich mit Leuten vergleichen, die eine andere Lehranstalt besucht haben (obwohl es viele andere sehr gute solcher Anstalten gibt), stellen sie fest, dass sie eigentlich immer mit denen mithalten können. Sie glauben immer, dass sie die beste Lehranstalt von allen besucht haben. Das ist ein Vorteil.
Aber es gibt auch einen gewissen Nachteil: Weil das Caltech einen so guten Ruf hat, bewirbt sich fast jeder hier, der in seiner High-School-Klasse der Beste oder Zweitbeste ist. Es gibt ziemlich viele High Schools und von allen bewerben sich die besten Schüler14. Wir haben ein Auswahlsystem ausgearbeitet mit allen Arten von Tests, sodass wir die Besten der Besten bekommen. Und so sind Sie sehr sorgfältig aus all diesen Schulen ausgesucht worden und hierher gekommen. Aber wir arbeiten immer noch an diesem System, denn wir haben ein sehr ernstes Problem festgestellt: Egal wie sorgfältig wir die Studenten auswählen, egal wie geduldig wir analysieren – wenn sie hierher kommen, passiert etwas: Es stellt sich immer heraus, dass ungefähr die Hälfte von ihnen unter dem Durchschnitt liegt!
Natürlich lachen Sie darüber, denn rational gesehen ist das selbstverständlich, aber emotional gesehen nicht. Emotional gesehen kann man darüber nicht lachen. Wenn Sie in den naturwissenschaftlichen Fächern an der High School lange Zeit die Nummer eins oder Nummer zwei (oder möglicherweise noch die Nummer drei) waren und Sie wissen, dass jeder, der in den naturwissenschaftlichen Fächern unter dem Durchschnitt war, ein kompletter Idiot war, und Sie jetzt plötzlich feststellen, dass Sie unter dem Durchschnitt sind – und die Hälfte von Ihnen ist unter dem Durchschnitt –, ist das ein heftiger Schlag, denn in Ihrer Vorstellung bedeutet das, dass Sie, relativ gesehen, genau so dumm sind wie diese Typen in der High School. Das ist der große Nachteil hier am Caltech: Dass dieser psychologische Schlag so schwer wegzustecken ist. Ich bin natürlich kein Psychologe. Ich stelle mir das alles nur vor. Ich weiß natürlich nicht, wie es wirklich wäre!
Die Frage ist, was zu tun ist, wenn Sie feststellen, dass Sie unter dem Durchschnitt liegen. Es gibt zwei Möglichkeiten. Erstens könnten Sie zu dem Schluss kommen, dass es so schwierig und ärgerlich ist, dass sie aussteigen müssen – das ist ein emotionales Problem. Sie können Ihren Verstand bemühen und sich selbst klar machen, was ich Ihnen gerade aufgezeigt habe: Dass die Hälfte der Leute hier unter dem Durchschnitt liegt, obwohl sie alle spitze sind, deshalb bedeutet es absolut nichts. Sehen sie, wenn Sie diesen Quatsch, dieses merkwürdige Gefühl vier Jahre lang durchstehen, dann gehen Sie wieder in die Welt hinaus und werden entdecken, dass die Welt ist, wie sie immer war und dass Sie z. B., wenn Sie irgendwo einen Job bekommen, wieder die Nummer eins sind. Dann werden Sie mit großem Vergnügen der Experte sein, zu dem alle in diesem bestimmten Betrieb immer dann gelaufen kommen, wenn sie Inches nicht in Zentimeter umrechnen können! Es stimmt: Die Leute, die in die Industrie gehen oder an eine kleine Lehranstalt, die keinen ausgezeichneten Ruf im Bereich Physik hat, sind sehr gefragt, selbst wenn sie im unteren Drittel, im unteren Fünftel, im unteren Zehntel der Klasse waren – wenn sie nicht versuchen, sich selbst unter Druck zu setzen (ich erkläre das gleich). Sie stellen fest, dass das, was sie gelernt haben, sehr nützlich ist, und dass sie wieder das sind, was sie waren: glücklich, die Nummer eins.
Andererseits kann Ihnen ein Fehler unterlaufen: Einige Leute treiben sich möglicherweise selbst bis zu einem Punkt, an dem sie darauf bestehen, die Nummer eins werden zu müssen, und trotz allem wollen sie zu einer weiterführenden Hochschule gehen und der beste Doktor in der besten Hochschule werden, obwohl sie hier der Schwächste in der Klasse sind. Na ja, die werden wahrscheinlich enttäuscht und für den Rest ihres Lebens unglücklich sein, weil sie immer die Schwächsten in einer Spitzengruppe sein werden, weil sie sich diese Gruppe ausgesucht haben. Das ist ein Problem, und es liegt an Ihnen – es hängt von Ihrer Persönlichkeit ab. (Denken Sie daran, ich spreche mit dem Typ, der in mein Büro gekommen ist, weil er zum unteren Zehntel gehört. Ich spreche nicht zu den anderen, die glücklich sind, weil sie im oberen Zehntel liegen – das ist sowieso eine Minderheit!)
Also, wenn Sie diesen psychologischen Schlag verkraften, wenn Sie sich selbst sagen können: „Ich bin im unteren Drittel der Klasse, aber ein Drittel von uns sind im unteren Drittel der Klasse, weil es so sein muss! Ich war in der High School der Beste und ich bin nach wie vor ein toller Kerl! Wir brauchen Wissenschaftler in diesem Land und ich werde ein Wissenschaftler sein und wenn ich mit dem Studium fertig bin, dann werde ich super sein, verdammt! Und ich werde ein guter Wissenschaftler sein!“, dann wird es so kommen. Sie werden ein guter Wissenschaftler sein. Trotz der rationalen Argumente besteht das einzige Problem darin, vier Jahre lang dieses merkwürdige Gefühl zu ertragen. Wenn Sie der Meinung sind, dass Sie dieses merkwürdige Gefühl nicht ertragen können, denke ich, dass es das Beste ist zu versuchen, woanders hinzugehen. Das ist kein Versagen. Es ist einfach eine emotionale Sache.
Selbst wenn Sie zu den beiden Schwächsten in der Klasse gehören, bedeutet das nicht, dass Sie nicht gut sind. Sie müssen sich nur mit einer passenden Gruppe vergleichen anstatt mit dieser wahnsinnigen Auslese, die wir hier am Caltech haben. Deshalb mache ich diese Wiederholung mit Absicht für die, die sich verloren fühlen, sodass sie noch eine Chance haben, etwas länger hier zu bleiben um herauszufinden, ob sie es aushalten können oder nicht, okay?
Noch etwas: dies ist keine Examensvorbereitung oder so etwas. Ich weiß gar nichts über die Prüfungen – ich meine, ich habe nichts mit ihrer Vorbereitung zu tun und ich weiß nicht, was darin vorkommt. Also gibt es überhaupt keine Garantie, dass das, was in der Prüfung vorkommt, nur mit dem Stoff zu tun hat, der in diesen Vorlesungen wiederholt wird, oder ähnlichem Quatsch.
Also, dieser Typ kommt in mein Büro und bittet mich, alles das, was ich ihn gelehrt habe, zu erklären. Und das ist das Beste, was ich tun kann. Das Problem besteht darin zu versuchen, den Stoff, der gelehrt wurde, zu erklären. Also beginne ich jetzt mit der Wiederholung.
Ich würde diesem Studenten erklären: „Zuerst müssen Sie die Mathematik lernen. Und das heißt zunächst Integralrechnung. Und nach der Integralrechnung die Differentialrechnung.“
Die Mathematik ist ein schönes Thema. Sie hat zwar auch ihre vielen kleinen Tücken, aber wir versuchen herauszufinden, wie groß der Mindestumfang ist, den wir für die Zwecke der Physik lernen müssen. Deshalb kann man die Haltung, die wir hier der Mathematik gegenüber zeigen, getrost als „respektlos“ bezeichnen. Sie ist rein nach Gesichtspunkten der Effizienz ausgerichtet. Ich werde nicht versuchen, die Mathematik zu Grunde zu richten.
Wir müssen uns damit beschäftigen, das Differenzieren zu lernen wie wir gelernt haben, wie viel 3 plus 5 oder 5 mal 7 ist, weil diese Art von Arbeit so häufig vorkommt, dass es gut ist, wenn man dadurch nicht mehr verwirrt wird. Wenn Sie etwas aufschreiben, sollten Sie in der Lage sein, es sofort ohne Nachdenken und ohne Fehler zu differenzieren. Sie werden sehen, dass Ihnen diese Rechenoperation ständig begegnet – nicht nur in der Physik, sondern in allen Naturwissenschaften. Deshalb verhält es sich mit der Differentiation wie mit der Arithmetik, die Sie lernen mussten, bevor Sie Algebra lernen konnten.
Übrigens gilt dasselbe auch für die Algebra: Sie brauchen in der Physik sehr viel Algebra. Wir gehen davon aus, dass Sie Algebra im Schlaf beherrschen, ohne einen Fehler zu machen. Wir wissen, dass das nicht stimmt, also sollten Sie Algebra üben: Schreiben Sie sich viele Ausdrücke auf, üben Sie sie und machen Sie keine Fehler.
Fehler in Algebra, Differentiation und Integration sind einfach lästig. Sie bringen die Physik durcheinander und lenken Sie ab, während Sie versuchen, etwas zu analysieren. Sie sollten in der Lage sein, Berechnungen so schnell wie möglich und mit möglichst wenigen Fehlern durchzuführen. Dazu muss man einfach auswendig lernen – nur damit klappt es! Es ist, als ob man sich selbst eine Multiplikationstabelle macht wie in der Grundschule. Sie haben einen Haufen Zahlen an die Tafel geschrieben und dann ging’s los: „Dies mal das, dies mal das“ und so weiter. Zack! Zack! Zack!
Genauso müssen Sie die Differentiation lernen. Nehmen Sie eine Karte und schreiben Sie eine Reihe von Ausdrücken vom folgenden allgemeinen Typ darauf. Zum Beispiel:
und so weiter. Schreiben Sie, sagen wir, ein Dutzend solcher Ausdrücke auf. Ab und zu nehmen Sie dann einfach die Karte aus Ihrer Tasche, legen Ihren Finger auf irgendeinen Ausdruck und sagen die Ableitung laut vor sich hin.
Mit anderen Worten, Sie sollten in der Lage sein, sofort zu erkennen, dass
oder dass
oder dass
Alles klar? Also, zuerst einmal muss man sich einprägen, wie man ableitet – ganz einfach. Das ist eine notwendige Übung.
Für das Differenzieren komplizierterer Ausdrücke ist die Ableitung einer Summe einfach: Sie ist einfach die Summe der Ableitungen jedes einzelnen Summanden. In dieser Phase unseres Physikkurses müssen wir nicht wissen, wie man kompliziertere Ausdrücke als die obigen oder deren Summen differenziert. Deshalb sollte ich Ihnen im Sinne dieser Wiederholung auch nicht mehr darüber erzählen. Aber es gibt eine Formel für das Differenzieren von komplizierten Ausdrücken, die in Kursen über die Integralrechnung normalerweise nicht in der Form angegeben wird, in der ich sie Ihnen gebe. Sie ist äußerst nützlich. Sie werden diese Formel später nicht lernen, weil niemand sie Ihnen sagen wird, aber es kann nicht schaden zu wissen, wie man sie anwendet.
Nehmen wir an, ich möchte Folgendes differenzieren:
Jetzt ist die Frage, wie wir das schnell erledigen. Das zeige ich Ihnen jetzt. (Dies sind nur Regeln. Es ist das Niveau, auf das ich die Mathematik reduziert habe, weil wir ja hier mit den Leuten arbeiten, die mal gerade so durchhalten.) Also:
Sie schreiben den Ausdruck ein weiteres Mal auf und setzen hinter jeden Summanden eine Klammer:
Dann schreiben Sie etwas in die Klammern, sodass Sie, wenn Sie fertig sind, die Ableitung des Originalausdrucks haben. (Deshalb schreiben Sie den Ausdruck noch mal auf, falls Sie ihn nicht verlieren möchten.)
Nun schauen Sie sich jeden Term an und ziehen einen Strich – einen Teiler – und setzen den Term in den Nenner: Der erste Term ist 1 + 2t2, er wird in den Nenner gesetzt. Die Potenz des Terms wird nach vorn gestellt (es ist die erste Potenz, 1) und die Ableitung des Terms (nach unserem Übungsspiel), 4t, kommt in den Zähler. Das ist der eine Term:
(Was ist mit der 6? Vergessen Sie sie! Es ist egal, welche Zahl davor steht: Wenn Sie wollten, könnten Sie folgendermaßen beginnen: „Die 6 geht in den Nenner, ihre Potenz, 1, wird nach vorn gestellt und ihre Ableitung, 0, kommt in den Zähler.“)
Nächster Term: t3 – t geht in den Nenner, die Potenz, +2, wird nach vorn gestellt, die Ableitung, 3t2 − 1, kommt in den Zähler. Der nächste Term, t + 5t2, geht in den Nenner, die Potenz, −1/2 (die umgekehrte Quadratwurzel ist eine negative halbe Potenz), wird nach vorn gesetzt, die Ableitung, 1 + 10t, geht in den Zähler. Der nächste Term, 4t, wird in den Nenner gesetzt, seine Potenz, −3/2, nach vorn, seine Ableitung, 4, kommt in den Zähler. Schließen Sie die Klammer. Das ist der eine Summand:
Nächster Summand, erster Term: Die Potenz ist +1/2. Wir nehmen die Potenz von 1 + 2t, die Ableitung ist 2. Die Potenz des nächsten Terms, 
ist −1. (Wie Sie sehen, ist es ein Kehrwert.) Der Term kommt in den Nenner und seine Ableitung (dies ist die einzig schwierige, relativ gesehen) hat zwei Teile, weil sie eine Summe ist: 
Schließen Sie die Klammer:
Das ist die Ableitung des Originalausdrucks. Sehen Sie, durch das Einprägen dieser Vorgehensweise können Sie alles differenzieren – außer Sinus, Kosinus, Logarithmen etc. Aber Sie können die Regeln für diese Funktionen leicht lernen. Sie sind sehr einfach. Und dann können Sie diese Vorgehensweise anwenden, selbst wenn die Terme Tangensfunktionen oder so etwas enthalten.
Als ich den Ausdruck aufgeschrieben habe, habe ich bemerkt, dass Sie besorgt aussahen, weil er so kompliziert ist. Aber ich denke, jetzt verstehen Sie, dass es sich um ein wirklich überzeugendes Verfahren für die Differentiation handelt, weil es – zack! – die Antwort ohne Verzögerung liefert, egal, wie kompliziert die Sache ist.
Der Gedanke hier ist, dass die Ableitung einer Funktion f = k ∙ ua ∙ vb ∙ wc … nach t
ist (wobei k und a, b, c … Konstanten sind).
Allerdings glaube ich nicht, dass die Aufgaben in diesem Physikkurs so kompliziert sind, sodass wir wahrscheinlich gar keine Gelegenheit haben werden, dieses Verfahren anzuwenden. Aber was soll’s, das ist die Art und Weise, mit deren Hilfe ich differenziere, und ich bin mittlerweile ganz gut darin.
Der umgekehrte Prozess ist die Integration. Sie sollten ebenso gut lernen, so schnell wie möglich zu integrieren. Die Integration ist nicht so einfach wie die Differentiation, aber Sie sollten in der Lage sein, einfache Ausdrücke im Kopf zu integrieren. Sie müssen nicht jeden Ausdruck integrieren können, (t + 7t2)1/3 kann man z. B. nicht auf einfache Weise integrieren, die folgenden Ausdrücke allerdings schon. Wenn Sie also Ausdrücke zum Üben der Integration auswählen, achten Sie darauf, dass sie leicht zu integrieren sind:
Mehr habe ich Ihnen über die Differential- und Integralrechnung nicht zu sagen. Alles Weitere liegt bei Ihnen: Sie müssen die Differentiation und die Integration üben – und natürlich auch die erforderliche Algebra, um Horrorszenarien wie in Gleichung (1.7) zu reduzieren. Das Üben von Algebra sowie Differential- und Integralrechnung auf diese stumpfsinnige Art und Weise – das ist die erste Sache.
Das andere Gebiet der Mathematik, mit dem wir es als rein mathematisches Thema zu tun haben, sind Vektoren. Zunächst müssen Sie wissen, was Vektoren sind, und wenn Sie kein Gespür dafür haben, weiß ich nicht, was wir machen sollen. Wir müssten uns eine Weile unterhalten, damit ich Ihre Schwierigkeiten einschätzen kann – anders könnte ich es nicht erklären. Ein Vektor ist wie ein Stoß, der eine bestimmte Richtung hat, oder eine Geschwindigkeit, die eine bestimmte Richtung hat, oder eine Bewegung, die eine bestimmte Richtung hat – und er wird auf einem Stück Papier mithilfe eines Pfeils dargestellt, der in die Richtung des Massenpunktes zeigt. Wir stellen z. B. eine Kraft, die auf etwas einwirkt, durch einen Pfeil dar, der in die Richtung der Kraft zeigt. Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag der Kraft auf einer beliebigen Messskala – einer Skala, die allerdings für alle Kräfte in der Aufgabe beibehalten werden muss. Wenn Sie eine andere Kraft doppelt so stark machen, stellen Sie diese Kraft durch einen doppelt so langen Pfeil dar (siehe Abbildung 1.1).
Abbildung 1.1: Zwei Vektoren, durch Pfeile dargestellt.
Nun, es gibt Operationen, die mit diesen Vektoren durchgeführt werden können. Wenn z. B. zwei Kräfte gleichzeitig auf einen Körper einwirken – wenn etwa zwei Menschen einen Gegenstand schieben –, dann können die beiden Kräfte durch zwei Pfeile F und F′ dargestellt werden. Wenn wir eine Zeichnung von einer solchen Situation anfertigen, ist es häufig zweckmäßig, die Pfeile im Angriffspunkt der Kräfte anfangen zu lassen, obwohl die Lage der Vektoren eigentlich ohne Bedeutung ist (siehe Abbildung 1.2).
Wenn wir die resultierende Nettokraft oder die Gesamtkraft bestimmen wollen, addieren wir die Vektoren. Das können wir zeichnerisch darstellen, indem wir den Anfang des einen Vektors auf die Spitze des anderen verschieben. (Es sind immer noch dieselben Vektoren, wenn Sie sie verschoben haben, weil sie dieselbe Richtung und dieselbe Länge haben.) Dann ist F + F′ der Vektor, der vom Anfang von F zur Spitze von F′ (oder vom Anfang von F′ zur Spitze von F) gezeichnet wurde, wie in Abbildung 1.3 dargestellt. Diese Methode zur Addition von Vektoren wird manchmal auch als „Vektoraddition mittels Parallelogramm“ bezeichnet.
Abbildung 1.2: Darstellung zweier Kräfte, die in demselben Punkt ausgeübt werden.
Abbildung 1.3: Vektoraddition mittels Parallelogramm.
Nehmen wir dagegen an, dass zwei Kräfte auf einen Körper einwirken, wir aber nur wissen, dass die eine Kraft F′ ist. Die unbekannte andere Kraft nennen wir X. Wenn die auf den Körper ausgeübte gesamte Kraft F ist, dann gilt F′ + X = F. Also gilt X = F – F′. Um X zu ermitteln, müssen Sie somit die Differenz zweier Vektoren bilden. Das können Sie auf zwei unterschiedliche Weisen tun: Sie können −F′, einen Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung wie F′ zeigt, zu F addieren (siehe Abbildung 1.4).
Andererseits ist F – F′ einfach der Vektor, der von der Spitze von F′ zur Spitze von F gezeichnet wird.
Der Nachteil der zweiten Methode ist allerdings, dass Sie vielleicht den Pfeil, wie in Abbildung 1.5 dargestellt, zeichnen möchten. Obwohl die Richtung und die Länge der Differenz richtig sind, befindet sich der Angriffspunkt der Kraft nicht am Anfang des Pfeils – also, passen Sie auf. Wenn Sie Angst haben oder wenn etwas unklar ist, benutzen Sie die erste Methode (siehe Abbildung 1.6).
Wir können Vektoren auch in bestimmte Richtungen projizieren. Wenn wir z. B. wissen möchten, wie groß die Kraft ist, die in x-Richtung wirkt (sie wird Komponente der Kraft in dieser Richtung genannt), projizieren wir einfach F im rechten Winkel hinunter auf die x-Achse und das ergibt dann die Komponente der Kraft in dieser Richtung, die wir Fx nennen. Mathematisch ist Fx der Betrag von F (geschrieben |F|) multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, den F mit der x-Achse bildet. Das liegt an den Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks (siehe Abbildung 1.7).
Abbildung 1.4: Vektorsubtraktion, erste Methode.
Wenn nun A und B zu C addiert werden, dann addieren sich offensichtlich die Projektionen, die in einer gegebenen Richtung x einen rechten Winkel bilden. Die Komponenten der Vektorsumme sind also die Summe der Vektorkomponenten, und das gilt für Komponenten in jeder Richtung (siehe Abbildung 1.8).
Abbildung 1.5: Vektorsubtraktion, zweite Methode.
Abbildung 1.6: Subtraktion zweier Kräfte, die in demselben Punkt ausgeübt werden.
Abbildung 1.7: Die Komponente des Vektors F in x-Richtung.
Besonders zweckmäßig ist die Beschreibung von Vektoren in ihren Komponenten auf den senkrechten Achsen x und y (und z – die Welt ist schließlich dreidimensional; meistens vergesse ich das, weil ich immer auf einer Tafel zeichne!). Wenn wir einen Vektor F in der x-y-Ebene haben und wir seine Komponente in x-Richtung kennen, definiert das F noch nicht vollständig, weil es viele Vektoren in der x-y-Ebene gibt, die dieselbe Komponente in x-Richtung haben. Aber wenn wir auch die Komponente von F in der y-Richtung kennen, dann ist F vollständig definiert (siehe Abbildung 1.9).
Abbildung 1.8: Eine Komponente einer Vektorsumme ist gleich der Summe der entsprechenden Vektorkomponenten.
Die Komponenten von F entlang der x-, y- und z-Achse schreibt man als Fx, Fy und Fz. Das Addieren von Vektoren ist äquivalent zur Addition ihrer Komponenten. Wenn die Komponenten eines weiteren Vektors F′ F′x, F′y und F′z sind, dann hat F + F′ somit die Komponenten Fx + F′x, Fy + F′y und Fz + F′z.
Das war der leichte Teil. Jetzt wird es etwas schwieriger. Es gibt einen Weg, zwei Vektoren zu einem Skalar zu multiplizieren – zu einer Zahl, die in jedem beliebigen Koordinatensystem dieselbe ist. (Genau genommen kann man aus einem Vektor einen Skalar machen, ich komme später darauf zurück.) Sehen Sie, wenn die Koordinatenachsen sich ändern, ändern sich die Komponenten – aber der Winkel zwischen den Vektoren und ihren Beträgen bleibt derselbe. Wenn A und B Vektoren sind und der Winkel zwischen ihnen θ ist, kann ich den Betrag von A mit dem Betrag von B und dann mit dem Kosinus von θ multiplizieren und diese Zahl A ∙ B („A mal B“) nennen (siehe Abbildung 1.10). Diese Zahl, das so genannte „Skalarprodukt“, ist in allen Koordinatensystemen gleich:
Es ist offensichtlich, dass, da |A| cos θ die Projektion von A auf B ist, A · B gleich dem Produkt aus der Projektion von A auf B und dem Betrag von B ist. Genauso ist, da |B| cos θ die Projektion von B auf A ist, A · B auch gleich dem Produkt aus der Projektion von B auf A und dem Betrag von A. Ich persönlich meine, dass A · B = |A||B| cos θ der einfachste Weg ist zu behalten, was das Skalarprodukt ist. Dann kann ich immer sofort die anderen Beziehungen erkennen. Das Problem ist natürlich, dass es so viele Wege gibt, dasselbe auszudrücken, dass es nicht gut ist zu versuchen, sie alle zu behalten – ein Punkt, auf den ich in ein paar Minuten näher eingehen werde.
Abbildung 1.10: Das Skalarprodukt |A||B| cos θ ist in allen Koordinaten-systemen gleich.
Wir können A ∙ B auch als Komponenten von A und B auf einem beliebigen Achsensystem definieren. Bei drei senkrecht zueinander stehenden Achsen x, y und z mit beliebiger Ausrichtung ergibt sich für A ∙ B
Es ist nicht sofort ersichtlich, wie man von |A||B| cos θ nach AxBx + AyBy + AzBz kommt. Obwohl ich es beweisen kann, wenn ich will,15 dauert mir das zu lange und ich behalte beide im Gedächtnis.
Wenn wir das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst bilden, ist θ gleich 0 und der Kosinus von 0 ist 1, sodass A ∙ A = |A||A| cos θ = |A|2. In Komponentenschreibweise gilt 
Die positive Quadratwurzel dieser Zahl ist der Betrag des Vektors.
Jetzt können wir Vektoren differenzieren. Die Ableitung eines Vektors nach der Zeit ist ohne Bedeutung, es sei denn, der Vektor hängt von der Zeit ab. Das heißt, wir müssen uns einen Vektor vorstellen, der sich ständig ändert: Der Vektor ändert sich mit der Zeit und wir wollen das Maß der Änderung bestimmen.
Der Vektor A(t) könnte z. B. der Ort eines herumfliegenden Körpers zum Zeitpunkt t sein. Zum nächsten Zeitpunkt t′ hat sich der Körper von A(t) nach A(t′) bewegt. Wir möchten das Maß der Änderung von A zum Zeitpunkt t berechnen.
Abbildung 1.11: Ortsvektor A und Verschiebung ΔA während des Zeitintervalls Δt.
Die Regel ist folgende: In dem Intervall Δt = t′ – t hat sich der Körper von A(t) nach A(t′) bewegt, sodass die Verschiebung ΔA = A(t′) − A(t) beträgt, ein Differenzvektor vom alten zum neuen Ort (siehe Abbildung 1.11).
Je kürzer das Intervall Δt ist, desto näher befindet sich natürlich A(t′) an A(t). Wenn Sie ΔA durch Δt dividieren und dann den Grenzwert bilden, wenn beide gegen null gehen, dann erhalten Sie die Ableitung. In diesem Fall, in dem A ein Ort ist, ist seine Ableitung ein Geschwindigkeitsvektor. Der Geschwindigkeitsvektor ist in einer Richtung Tangente an die Kurve, weil das die Richtung der Verschiebungen ist. Seinen Betrag können Sie nicht durch das Betrachten dieses Bildes herausfinden, weil er davon abhängt, wie schnell sich das Teil entlang der Kurve bewegt. Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors ist die Geschwindigkeit. Sie gibt an, wie schnell sich der Körper pro Zeiteinheit bewegt. Damit hätten wir die Definition des Geschwindigkeitsvektors: Er ist eine Tangente an die Bahn und sein Betrag ist gleich der Geschwindigkeit der Bewegung auf dieser Bahn (siehe Abbildung 1.12).
Abbildung 1.12: Ortsvektor A und seine Ableitung v zum Zeitpunkt t.
Übrigens ist es gefährlich, den Ortsvektor und den Geschwindigkeitsvektor in demselben Diagramm zu zeichnen – es sei denn, Sie sind äußerst vorsichtig. Und da wir einige Schwierigkeiten haben, diese Dinge zu verstehen, weise ich auf alle möglichen Fallen hin, die mir in den Sinn kommen, weil Sie als Nächstes möglicherweise A zu v addieren möchten. Das ist nicht erlaubt, denn damit Sie den Geschwindigkeitsvektor wirklich zeichnen können, müssen Sie den Maßstab der Zeit kennen. Der Geschwindigkeitsvektor hat einen anderen Maßstab als der Ortsvektor, sie haben unterschiedliche Einheiten. Man kann generell Orte und Geschwindigkeiten nicht addieren – auch nicht in diesem Fall.
Um tatsächlich einen Vektor zeichnerisch darstellen zu können, muss ich eine Entscheidung bezüglich des Maßstabes treffen. Als wir über Kräfte gesprochen haben, haben wir gesagt, dass soundso viele Newton durch 1 Meter (oder 1 Zentimeter oder was auch immer) dargestellt würden. Und in diesem Fall müssen wir festlegen, dass soundso viele Meter pro Sekunde durch 1 Zentimeter dargestellt werden. Jemand könnte das Diagramm mit Ortsvektoren, die dieselbe Länge wie unsere haben, zeichnen, aber mit einem Geschwindigkeitsvektor, der nur ein Drittel so lang wie unserer ist – dieser Jemand benutzt einfach einen anderen Maßstab für seinen Geschwindigkeitsvektor. Es gibt nicht einen bestimmten Weg, die Länge eines Vektors zu zeichnen, weil die Wahl des Maßstabes beliebig ist.
Nun, die Komponentenschreibweise für die Geschwindigkeit ist sehr einfach, weil z. B. das Maß der Änderung der x-Komponente des Ortes gleich der x-Komponente der Geschwindigkeit ist, und so weiter. Das liegt einfach daran, dass die Ableitung tatsächlich eine Differenz ist, und da die Komponenten eines Differenzvektors mit den Differenzen der entsprechenden Komponenten identisch sind, ergibt sich
Die Bildung der Grenzwerte liefert dann die Komponenten der Ableitung:
Das gilt für jede Richtung: Wenn ich die Komponente von A(t) in einer beliebigen Richtung bilde, dann ist die Komponente des Geschwindigkeitsvektors in dieser Richtung die Ableitung der Komponente von A(t) in dieser Richtung. Allerdings muss ich eine ernste Warnung aussprechen: Die Richtung darf sich nicht in Abhängigkeit der Zeit ändern. Sie können nicht sagen: „Ich nehme die Komponente von A in der Richtung von v“ oder so etwas, weil v sich bewegt. Die Aussage, dass die Ableitung der Ortskomponente gleich der Geschwindigkeitskomponente ist, ist nur wahr, wenn die Richtung, in der Sie die Komponente bilden, selbst fest ist. So gelten die Gleichungen (1.15) und (1.16) nur für die x-, y- und z-Achse sowie andere feststehende Achsen. Wenn sich die Achsen drehen, während Sie versuchen, die Ableitung zu bilden, ist die Formel wesentlich komplizierter.
So viel zu den Ausnahmen und Schwierigkeiten beim Differenzieren von Vektoren.
Natürlich kann man die Ableitung eines Vektors differenzieren, dann das Ergebnis differenzieren und so weiter. Ich habe die Ableitung von A „Geschwindigkeit“ genannt, aber nur, weil A der Ort ist. Wenn A etwas anderes ist, ist die Ableitung etwas anderes als die Geschwindigkeit. Wenn A z. B. der Impuls ist, entspricht die Ableitung des Impulses nach der Zeit der Kraft, sodass die Ableitung von A die Kraft wäre. Und wenn A die Geschwindigkeit wäre, wäre die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit die Beschleunigung und so weiter. Was ich Ihnen erzählt habe, ist allgemeingültig für das Differenzieren von Vektoren, aber hier habe ich nur das Beispiel von Orten und Geschwindigkeiten gegeben.
Zum Schluss muss ich nur noch eine Sache über Vektoren besprechen. Das ist allerdings um ein schreckliches, kompliziertes Ding, das so genannte „Linienintegral“:
Als Beispiel stellen wir uns ein bestimmtes Vektorfeld F vor, das Sie entlang einer Kurve S vom Punkt a zum Punkt z integrieren wollen. Damit nun dieses Linienintegral irgendeine Bedeutung hat, müssen wir den Wert von F in jedem Punkt auf S zwischen a und z irgendwie definieren. Wenn F als die Kraft definiert ist, die auf einen Körper im Punkt a ausgeübt wird, Sie mir aber nicht sagen können, wie sich die Kraft ändert, wenn Sie sich entlang S bewegen, zumindest zwischen a und z, dann macht „das Integral von F entlang S von a nach z“ keinen Sinn. (Ich sagte „zumindest“, weil F auch irgendwo anders definiert werden könnte, aber Sie müssen sie zumindest auf dem Teil der Kurve definieren, entlang dessen Sie integrieren.)
Gleich werde ich das Linienintegral eines beliebigen Vektorfeldes entlang einer beliebigen Kurve definieren, aber lassen Sie uns zunächst den Fall betrachten, in dem F konstant und S eine geradlinige Bahn von a nach z ist – ein Verschiebungsvektor, den ich s nenne (siehe Abbildung 1.13). Da F konstant ist, können wir sie dann aus dem Integral herausnehmen (genau wie eine normale Integration), und das Integral von ds zwischen a und z ist einfach s. Die Lösung ist also F ∙ s. Das ist das Linienintegral für eine konstante Kraft und eine geradlinige Bahn – der einfache Fall:
(Denken Sie daran, dass F ∙ s die Komponente der Kraft in Richtung der Verschiebung multipliziert mit dem Betrag der Verschiebung ist. Mit anderen Worten, es ist einfach der Weg entlang der Linie multipliziert mit der Komponente der Kraft in dieser Richtung. Es gibt viele andere Betrachtungsweisen: Es ist die Komponente der Verschiebung in Richtung der Kraft multipliziert mit dem Betrag der Kraft. Es ist der Betrag der Kraft multipliziert mit dem Betrag der Verschiebung multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, den sie miteinander bilden. Diese Betrachtungsweisen sind alle äquivalent.)
Allgemeiner ist das Linienintegral folgendermaßen definiert. Zunächst zerlegen wir das Integral, indem wir S zwischen a und z in n gleiche Abschnitte aufteilen: ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Dann ist das Integral entlang S das Integral entlang ΔS1 plus das Integral entlang ΔS2 plus das Integral entlang ΔS3 und so weiter. Wir wählen n groß, so dass wir jedes ΔSi mithilfe eines kleinen Verschiebungsvektors, Δsj, über dem F einen annähernd konstanten Wert, Fi, hat, näherungsweise bestimmen können (siehe Abbildung 1.14). Dann liefert der Abschnitt ΔSi- gemäß der „Konstante-Kraft-Geradlinige-Bahn-Regel“ näherungsweise Fi ∙ Δsi zu dem Integral. Wenn Sie dann Fi ∙ Δsi- für i gleich 1 bis n addieren, ist das eine ausgezeichnete Näherung für das Integral. Das Integral ist nur dann genau gleich dieser Summe, wenn wir den Grenzwert für n gegen unendlich bilden: Sie wählen die Abschnitte so klein wie möglich und noch etwas kleiner und dann erhalten Sie das korrekte Integral:
Abbildung 1.14: Eine veränderliche Kraft F, definiert entlang der Kurve S.
(Dieses Integral hängt natürlich von der Kurve ab – im Allgemeinen –, in der Physik manchmal auch wieder nicht.)
Nun, das ist alles an Mathematik, was Sie für die Physik wissen müssen – so weit zumindest – und diese Dinge, insbesondere die Differential- und Integralrechnung sowie die ersten Teile der Vektortheorie, sollten Ihnen in Fleisch und Blut übergehen. Manche Dinge, wie das Linienintegral, sind jetzt noch nicht so wichtig. Aber sie werden irgendwann wichtiger werden, je mehr Sie sie anwenden. Die Dinge, die Sie jetzt „in Ihren Kopf reinkriegen müssen“, sind die Differential- und Integralrechnung und die Kleinigkeiten über die Zerlegung von Vektoren in ihre Komponenten in verschiedenen Richtungen.
Ich gebe Ihnen ein Beispiel – ein sehr einfaches –, um Ihnen zu zeigen, wie man die Komponenten von Vektoren ermittelt. Nehmen wir an, wir haben eine bestimmte Maschine, wie in Abbildung 1.15 dargestellt: Sie besteht aus zwei Stangen, die durch ein Gelenk (ähnlich dem Ellbogengelenk) miteinander verbunden sind, auf dem ein großes Gewicht liegt. Das Ende der einen Stange ist durch ein festes Gelenk mit dem Boden verbunden und das Ende der anderen Stange hat eine Rolle, die in einer Rille den Boden entlang rollt – sehen Sie, sie ist Teil der Maschine und sie macht tschu-tschuck, tschu-tschuck – die Rolle bewegt sich vor und zurück und das Gewicht bewegt sich auf und ab und so weiter.
Abbildung 1.15: Eine einfache Maschine.
Nehmen wir an, das Gewicht beträgt 2 kg, die Stangen sind 0,5 m lang und zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn die Maschine still steht, beträgt der Weg zwischen dem Gewicht und dem Boden glücklicherweise genau 0,4 m, sodass wir ein 3-4-5-Dreieck haben und das Rechnen damit einfacher wird (siehe Abbildung 1.16). (Das Rechnen sollte keinen Unterschied machen, die eigentliche Schwierigkeit besteht darin, gedanklich den richtigen Weg zu finden.)
Abbildung 1.16: Welche Kraft P ist erforderlich, um das Gewicht oben zu halten?
Das Problem ist herauszufinden, wie groß der horizontale Druck P ist, der auf die Rolle ausgeübt werden muss, um das Gewicht oben zu halten. Jetzt gehe ich von einer Annahme aus, die wir brauchen, um die Aufgabe zu lösen. Wir nehmen an, dass die Nettokraft immer entlang der Stange gerichtet ist, wenn eine Stange an beiden Enden Gelenke hat. (Es zeigt sich, dass das zutrifft; Ihnen erscheint es möglicherweise selbstverständlich.) Es wäre nicht unbedingt wahr, wenn nur an einem Ende der Stange ein Gelenk vorhanden wäre, weil ich dann die Stange seitwärts schieben könnte. Aber wenn an beiden Enden ein Gelenk vorhanden ist, kann ich nur entlang der Stange schieben. Lassen Sie uns also annehmen, dass wir das wissen – dass die Kräfte in die Richtungen der Stangen wirken müssen.
Aus der Physik wissen wir auch noch etwas anderes: Dass die Kräfte an den Enden der Stangen identisch und entgegengerichtet sind. Die Kraft, die die Stange auf die Rolle ausübt, muss z. B. von dieser Stange auch in die entgegengesetzte Richtung auf das Gewicht ausgeübt werden. Das ist somit die Aufgabenstellung: Mit diesem Wissen über die Eigenschaften von Stangen im Kopf versuchen wir herauszufinden, wie groß die horizontale Kraft ist, die auf die Rolle ausgeübt wird.
Ich möchte versuchen, die Aufgabe folgendermaßen zu lösen: Die horizontale Kraft, die von der Stange auf die Rolle ausgeübt wird, ist eine bestimmte Komponente der auf sie einwirkenden Nettokraft. (Natürlich gibt es auf Grund der „einengenden Rille“ auch eine vertikale Komponente, die aber unbekannt und uninteressant ist. Sie ist Teil der auf die Rolle ausgeübten Nettokraft, die der auf das Gewicht ausgeübten Nettokraft genau entgegengerichtet ist.) Deshalb kann ich die Komponenten der von der Stange auf die Rolle ausgeübten Kraft – insbesondere die horizontale Komponente, die ich bestimmen möchte – ermitteln, wenn ich die Komponenten der von der Stange auf das Gewicht ausgeübten Kraft ermitteln kann. Wenn ich die auf das Gewicht ausgeübte horizontale Kraft Fx nenne, dann ist die auf die Rolle ausgeübte horizontale Kraft −Fx und die Kraft, die erforderlich ist, um das Gewicht oben zu halten, ist gleich groß und entgegengerichtet, sodass |P| = Fx ist.
Die von der Stange auf das Gewicht ausgeübte vertikale Kraft Fy ist sehr leicht zu ermitteln: Sie ist einfach gleich dem Gewicht des Teils, das 2 kg beträgt, multipliziert mit g, der Gravitationskonstanten. (Das ist auch noch etwas, das Sie aus der Physik wissen müssen – g ist 9,8 im MKS-System.) Fy ist 2 mal g oder 19,6 Newton, sodass die auf die Rolle einwirkende vertikale Kraft −19,6 Newton beträgt. Wie kann ich nun die horizontale Kraft bestimmen? Antwort: Ich erhalte sie, weil ich weiß, dass die Nettokraft entlang der Stange gerichtet sein muss. Wenn Fy 19,6 beträgt und die Nettokraft entlang der Stange gerichtet ist, muss Fx wie groß sein (siehe Abbildung 1.17)?
Nun, wir haben die Projektionen der Dreiecke, die sehr hübsch konstruiert wurden, sodass das Verhältnis der horizontalen zu den vertikalen Seiten 3 zu 4 ist. Das ist dasselbe Verhältnis wie Fx zu Fy, (die Nettokraft F interessiert mich hier nicht, ich brauche nur die Kraft in horizontaler Richtung) und die vertikale Kraft kenne ich bereits. Der Betrag der horizontalen Kraft – unbekannt – verhält sich zu 19,6 wie 0,3 zu 0,4. Deshalb multipliziere ich 3/4 mit 19,6 und erhalte:
Abbildung 1.17: Die von einer Stange auf das Gewicht und auf die Rolle ausgeübte Kraft.
Wir schließen daraus, dass |P|, die auf die Rolle ausgeübte horizontale Kraft, die erforderlich ist, um das Gewicht oben zu halten, 14,7 Newton beträgt. Das ist die Lösung für diese Aufgabe.
Oder nicht?
Sehen Sie, Physik besteht nicht aus dem einfachen Einsetzen in Formeln: Sie erreichen gar nichts, wenn Sie nicht neben dem Wissen der Regeln, der Formeln für Projektionen und dem ganzen Kram noch etwas anderes besitzen: Sie müssen ein gewisses Gefühl für die reale Situation haben! Darüber werde ich gleich noch einige Bemerkungen machen, aber hier in dieser speziellen Aufgabenstellung ist die Schwierigkeit folgende: Die auf das Gewicht einwirkende Nettokraft rührt nicht nur von einer Stange her, sondern es gibt auch eine Kraft, die von der anderen Stange in einer Richtung auf sie ausgeübt wird, und das habe ich bei meiner Analyse außer Acht gelassen – also ist alles falsch!
Außerdem muss ich die Kraft berücksichtigen, die die Stange mit dem festen Gelenk auf das Gewicht ausübt. Jetzt wird es kompliziert: Wie kann ich herausfinden, wie groß diese Kraft ist? Nun, wie groß ist die gesamte Nettokraft, die auf das Gewicht ausgeübt wird? Genau gleich der Gravitationskraft – sie gleicht die Gravitationskraft genau aus. Es gibt keine horizontal auf das Gewicht ausgeübte Kraft. Somit liegt der Schlüssel, mit dessen Hilfe ich herausfinden kann, wie viel „Power“ entlang der Stange mit dem festen Gelenk fließt, in der Beachtung der Tatsache, dass sie horizontal gerade eine so große Kraft ausüben muss, dass die horizontale Kraft, die die andere Stange ausübt, ausgeglichen wird.
Wenn ich die Kraft, die die Stange mit dem festen Gelenk ausübt, zeichnen müsste, wäre ihre horizontale Komponente folglich der horizontalen Komponente, die die Stange mit der Rolle ausübt, genau entgegengerichtet. Die vertikalen Komponenten wären auf Grund der identischen 3-4-5-Dreiecke, die die Stangen bilden, gleich: Beide Stangen drücken denselben Betrag nach oben, weil ihre horizontalen Komponenten sich ausgleichen müssen – wenn die Stangen unterschiedlich lang wären, müssten Sie etwas mehr rechnen, aber der Gedanke ist derselbe.
Beginnen wir noch einmal mit dem Gewicht: Die Kräfte, die von den Stangen auf das Gewicht ausgeübt werden, müssen wir zuerst klären. Also schauen wir uns die Kräfte an, die von den Stangen auf das Gewicht ausgeübt werden. Der Grund, warum ich das für mich selbst wiederhole, ist der, dass ich sonst alle Vorzeichen durcheinander bringen würde: Die Kraft, die von dem Gewicht auf die Stangen ausgeübt wird, ist das Gegenteil der Kraft, die von den Stangen auf das Gewicht ausgeübt wird. Ich muss immer wieder von neuem anfangen, nachdem ich alles durcheinander gebracht habe. Ich muss es mir wieder durch den Kopf gehen lassen und mich entscheiden, über was ich sprechen will. Also sage ich: „Schauen Sie sich die Kräfte an, die von den Stangen auf das Gewicht ausgeübt werden: Es gibt eine Kraft F, die in die Richtung einer Stange gerichtet ist. Dann gibt es eine Kraft F′, die in die Richtung der anderen Stange verläuft. Das sind die beiden einzigen Kräfte und sie verlaufen in die Richtungen der Stangen.“
Die Nettokraft dieser beiden Kräfte – ahhhh! Jetzt geht mir ein Licht auf! Die Nettokraft dieser beiden Kräfte hat keine horizontale Komponente und eine vertikale Komponente von 19,6 Newton. Aha! Lassen Sie mich die Zeichnung noch einmal machen, denn vorhin habe ich sie falsch gezeichnet (siehe Abbildung 1.18).
Die horizontalen Kräfte gleichen sich aus, deshalb addieren sich die vertikalen Komponenten und die 19,6 Newton sind nicht nur die vertikale Komponente der von einer Stange ausgeübten Kraft, sondern die von beiden Stangen ausgeübte Gesamtkraft. Da beide Stangen jeweils die Hälfte dazu beitragen, beträgt die von der Stange mit der Rolle ausgeübte vertikale Komponente nur 9,8 Newton.
Wenn wir jetzt die horizontale Projektion dieser Kraft nehmen und sie wie zuvor mit 3/4 multiplizieren, erhalten wir die horizontale Komponente der von der Stange mit der Rolle auf das Gewicht ausgeübten Kraft und somit haben wir alles berücksichtigt:
Mir bleiben noch ein paar Augenblicke, deshalb möchte ich ein paar Sätze zum Verhältnis der Mathematik zur Physik sagen – das in der Tat durch dieses kleine Beispiel gut veranschaulicht wurde. Es geht nicht darum, sich die Formeln einzuprägen und sich selbst zu sagen: „Ich kenne alle Formeln. Jetzt brauche ich nur noch herauszufinden, wie ich sie in die Aufgabe einsetzen muss!“
Abbildung 1.18: Die von beiden Stangen auf das Gewicht ausgeübte Kraft und die auf die Rolle und das Gelenk ausgeübten Kräfte.
Nun, eine Zeit lang haben Sie damit vielleicht Erfolg und je besser Sie sich die Formeln einprägen, desto länger werden Sie mit dieser Methode arbeiten – aber irgendwann wird es damit nicht mehr klappen.
Sie könnten sagen: „Ich glaube ihm nicht, denn es hat bei mir immer geklappt: Ich hab das immer so gemacht, ich werde es weiter so machen.“
Sie werden nicht immer so weitermachen, sie werden Misserfolge haben – nicht dieses Jahr, nicht nächstes Jahr, aber eines Tages, wenn Sie einen Job bekommen oder so etwas, werden Sie aufgeben, denn die Physik ist ein enorm umfassendes Thema: Es gibt Millionen von Formeln! Es ist unmöglich, alle Formeln zu behalten – es ist unmöglich!
Und die große Sache, die Sie ignorieren, die mächtige Maschine, die Sie nicht nutzen, ist Folgende: Nehmen wir an, Abbildung 1.19 ist eine Karte aller Physikformeln, aller Relationen in der Physik. (Sie sollte eigentlich mehr als zwei Dimensionen haben, aber nehmen wir an, sie sieht so aus.)
Nehmen wir nun an, etwas ist mit Ihrem Verstand geschehen, irgendwie wurde das gesamte Material in einer bestimmten Hirnregion gelöscht und an einer Stelle fehlt et- was „Masse“. Die Zusammenhänge in der Natur sind so schön, dass es durch Logik möglich ist, aus dem Bekannten „durch Dreiecke zusammenzusetzen“ oder zu „triangulieren“, was sich in dem Loch befindet (siehe Abbildung 1.20).
Abbildung 1.19: Imaginäre Karte aller Physikformeln.
Abbildung 1.20: Vergessene Fakten können wieder rekonstruiert werden, indem man aus bekannten Fakten Dreiecke zusammensetzt oder „trianguliert“.
Und Sie können die Dinge, die Sie vergessen haben, für immer rekonstruieren – wenn Sie nicht zu viele vergessen haben und wenn Sie genug wissen. Mit anderen Worten, es wird eine Zeit kommen – dieses Stadium haben Sie jetzt noch nicht erreicht –, in der Sie so viele Dinge wissen, dass Sie sie, wenn Sie sie vergessen, aus den Stücken, die Sie noch im Gedächtnis haben, rekonstruieren können. Es ist daher äußerst wichtig, dass Sie wissen, wie man Dinge „trianguliert“ – d. h. zu wissen, wie man etwas aus Fakten, die man bereits kennt, herausfindet. Das ist absolut notwendig. Sie könnten sagen: „Ach, das interessiert mich nicht. Ich kann mir Dinge gut merken! Ich weiß, wie man sich etwas wirklich einprägt! Ich habe sogar einen Kurs in Gedächtnistraining gemacht!“
Das wird auch nicht funktionieren! Denn Physiker sind – sowohl für die Entdeckung neuer Naturgesetze, als auch für die Entwicklung neuer Dinge in der Industrie und so weiter – nicht dazu da, über bereits bekannte Dinge zu reden, sondern etwas Neues zu tun. Und deshalb triangulieren sie aus bekannten Tatsachen: Sie führen „Triangulationen“ durch, die niemand jemals zuvor gemacht hat (siehe Abbildung 1.21).
Abbildung 1.21: Neue Entdeckungen werden von Physikern gemacht, die aus bekannten Tatsachen zu bis dahin unbekannten Fakten „triangulieren“.
Um das zu lernen, müssen Sie das Einprägen von Formeln vergessen und versuchen zu lernen, die Wechselbeziehungen in der Natur zu verstehen. Das ist am Anfang ziemlich schwierig, aber es ist der einzig erfolgreiche Weg.
