6 Messbare Abbildungen

In diesem Kapitel seien (E, ) und (E′, ) zwei Messräume und T: E → E′ eine Abbildung. Wir interessieren uns dafür, wann T mit den σ-Algebren und verträglich ist — so wie eine stetige Abbildung mit den Topologien verträglich ist: „Urbilder offener Mengen sind offen.“ Dieser Frage sind wir bereits im Beweis von Satz 4.7 in folgender Form begegnet

6.1 Definition. Eine Abbildung T: E → E′ heißt -messbar (kurz: messbar), wenn

(6.1)

• ► Alternative Notation für (6.1): (). Dabei ist ) eine symbolische Kurzschreibweise.
• ► T: ist eine weitere Bezeichnung für „T ist -messbar.“

Mit Hilfe von Definition 6.1 können wir das Problem von Satz 3.7 so formulieren: Für die Abbildungen

gilt

Die Messbarkeit von τ_x haben wir in Satz 4.7 ad hoc bewiesen, indem wir uns auf den Erzeuger der σ-Algebra zurückgezogen haben. Das geht jedoch immer.

 

6.2 Lemma. Es sei . Dann ist T: E → E′ genau dann -messbar, wenn

(6.2)

Beweis. Da gilt (6.1)⇒(6.2). Umgekehrt gelte nun (6.2). Definiere

Wegen (6.2) ist ; außerdem ist Σ′ eine σ-Algebra. Somit findet man

Der Begriff der messbaren Abbildung ähnelt dem der stetigen Abbildung. Zur Erinnerung:

In allgemeinen topologischen Räumen (E, ), (E′, ) verwendet man die letzte Äquivalenz als Definition für die (globale) Stetigkeit einer Funktion.

(6.3)

 

Wiederum ist symbolisch zu verstehen.

 

6.3 Beispiel. Jede stetige Abbildung ist Borel- messbar. Denn: für die offenen Mengen des . Dann gilt

Achtung: Stetige Funktionen sind Borel-messbar. Umgekehrt folgt aus der Messbarkeit nicht die Stetigkeit. Hier ist ein typisches Gegenbeispiel: Die Funktion ist messbar aber nicht stetig! Die Messbarkeit folgt aus

6.4 Satz. Es seien (E_n, ), n = 1, 2, 3, Messräume und S, T messbare Abbildungen

Dann ist auch die Komposition S ∘ T: (E₁, ) → (E₃, ) messbar.

Beweis. Für alle A ∈ gilt .

 

Oft kennen wir für eine Abbildung T: E → E′ die σ-Algebra in E′ und suchen eine σ-Algebra in E, so dass T messbar wird. Derartige Fragestellungen finden wir typischerweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

entspricht dem (real existierenden) Raum der Beobachtungen mit einer (wenigstens theoretisch) beobachtbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung µ. Der W-Raum (Ω, ) ist dann ein mathematisches Modell und ist eine Abbildung zwischen Modell und Realität.

Damit wir mit X und (Ω, ) arbeiten können, müssen wirfolgende Fragen klären: Mit welchem wird X messbar? Wie bildet X die Maße und µ ineinander ab?

6.5 Lemma (und Definition). Es seien (T_i)_i∈I beliebig viele Abbildungen T_i: E → E_i und (E_i, ), i ∈ I, Messräume. Dann ist

die kleinste σ-Algebra in E, die alle T_i gleichzeitig messbar macht. σ(T_i: i ∈ I) heißt die von den (T_i)_i∈I erzeugte σ-Algebra.

Beweis. Für jedes i ∈ I ist T_i: E → E_i genau dann -messbar, wenn . Also ist

Die Minimalität folgt aus der Definition von σ( ...).

Messbare Abbildungen transportieren insbesondere Maße von (E, ) nach (E′, ).

6.6 Satz (Bildmaß). Es sei T: (E, ) → (E′, ) messbar und ν ein Maß auf (E, ). Dann definiert

(6.4)

ein Maß auf (E′,).

 

Beweis. () ist eine σ-Algebra, d. h. (6.4) wohldefiniert.

(M₁) Wir haben .

(M₂) Für disjunkt sind die auch disjunkt3. Da ν ein Maß ist, gilt

6.7 Definition. Das Maß ν′ aus Satz 6.6 heißt Bildmaß (image measure, push-forward) von ν unter T. Übliche Bezeichnungen: T(ν) oder oder ν ∘ T^—1.

 

6.8 Beispiel. a) Für alle gilt .

b) Es sei (Ω, , ℙ) ein W-Raum. Dann heißt

Wir haben hier die in der Wahrscheinlichkeitstheorie üblichen Bezeichnungen

verwendet.

c) Konkretes Beispiel: Zweimaliges Würfeln (z. B. beim Monopoly)

Die Verteilung von ξ (das Bildmaß unter ξ) ist in Tabelle 6.1 angegeben.

Tab. 6.1. Wahrscheinlichkeitsverteilung beim zweimaligen Würfeln

Für ist jede Abbildung messbar, da ξ^–1(B) ∈ stets gilt.

6.9 Satz. Es sei T ∈ O(d) eine orthogonale Matrix, d. h. T ∈ . Dann gilt T(λ^d) = λ^d.

 

Beweis. Jede Abbildung T ∈ O(d) ist wegen

(Lipschitz-)stetig und somit Borel-messbar. Daher ist das Bildmaß

wohldefiniert und es gilt

Aus Satz 4.7.b) folgt dann µ(B) = κλ^d(B) für alle B ∈ . Wir müssen noch die Konstante κ bestimmen. Setze B = B₁(0). Da T ∈ O(d), folgt

Weil 0 < λ^d(B₁(0)) < ∞ ist, ergibt sich durch Division, dass κ = 1.

6.10 Satz. Für S ∈ GL()gilt S(λ^d) = |det S^–1| · λ^d = |det S|^–1λ^d.

Beweis. Lineare Abbildungen (in endlich-dimensionalen Räumen) sind stetig, also messbar (Beispiel 6.3). Wie im Beweis von Satz 6.9 sieht man für B ∈

und wegen Satz 4.7 gilt dann schon

Nun ist S^–1 [0,1)^d ein Spat (Parallelepiped) mit Kanten

dessen Volumen4 bekanntlich |det S^–1 ist.

6.11 Korollar. Das Lebesgue—Maβ λ^d ist invariant unter Bewegungen.

 

Beweis. Eine Bewegung ist eine Komposition aus Verschiebungen τ_x und T ∈ mit det T = ±1. Die Behauptung folgt also aus Satz 6.10.

Aufgaben

1. Es sei (E, ) ein Messraum, B ⊂ E, A, A₁, A₂, ... ∈ disjunkt. Welche der folgenden Abbildungen sind messbar? (a) ; (b) ; (c) ; (d) .
2. Es sei E = ℤ = {0, ±1, ±2, ... }. Zeigen Sie:
   • (a) ist eine σ-Algebra.
   • (b) T: ℤ → ℤ, T(n):= n + 2 ist -messbar und bijektiv, aber T^–1 ist nicht messbar.
3. Es sei E eine Menge und (E_i, ) Messräume, (I beliebig, i ∈ I) und T_i: E → E_i Abbildungen.
   • (a) Zeigen Sie: Eine Abbildung f von einem Messraum (F, ℱ) nach (E, σ(T_i: i ∈ I)) ist genau dann messbar, wenn alle Abbildungen T_i ∘ f -messbar sind.
   • (b) Es gilt σ(T_i: i ∈ I) = U_K⊂I, _{#K ≤ #ℕ} σ(T_k: k ∈ K).
   • (c) Folgern Sie aus (a): Eine Funktion f: ℝⁿ → ℝ^m, x ↦ (f₁(x), ..., f_m(x)) ist genau dann messbar, wenn alle Koordinatenabbildungen f_i: , i = 1, 2, ..., m messbar sind.
4. Es seien (E, ) und (E′, ) Messräume und T: E → E′ eine Abbildung. Zeigen Sie:
   • (a) ;
   • (b) T ist genau dann messbar, wenn σ(T) ⊂ ;
   • (c) T messbar, ν endliches Maß auf (E, ) ⇒ ν ∘ T^–1 endliches Maß auf (E′, ). Gilt das auch für σ-endliche Maße?
5. Es sei (E, ) ein Messraum. A ∈ heißtA tom, wenn oder B = A. Zeigen Sie: Messbare Funktionen sind konstant auf Atomen.
6. Es sei T: E → Y eine Abbildung und . Zeigen Sie, dass .