7 Messbare Funktionen

In diesem Kapitel ist (E, ) ein beliebiger Messraum. Im Gegensatz zum vorangehenden Kapitel betrachten wir nun messbare Abbildungen mit Werten in .

7.1 Definition. Eine messbare Abbildung u: (E, ) → (,heißt messbare (reelle) Funktion.

Die Klasse der messbaren Funktionen ist für die Integrationstheorie von fundamentaler Bedeutung. Zur Erinnerung:

Meist werden wir wählen; die Mengen [a, ∞) können auch durch (b, ∞), (–∞, c), (–∞, d] für b, c, d ∈ oder ∈ ℚ ersetzt werden, vgl. Bemerkung 2.9.

Bezeichnung. Für u, υ: E → und B ∈ schreiben wir:

▶ {u ∈ B}:= {x ∈ E: u(x) ∈ B} = u^–1(B);
▶ {u ≥ υ}:= {x ∈ E: u(x) ≥ υ(x)} (analog für: >, <, ≤, =, ≠);
▶ insbesondere ist {u ≥ a} = {u ∈ [a, ∞)} = u^–1([a, ∞)).

7.2 Lemma (Messbarkeitskriterium). Eine Funktion u: (E, ) → () ist genau dann -messbar, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

a) oder ∈ ℚ;
b) oder ∈ ℚ;
c) oder ∈ ℚ;
d) oder ∈ ℚ.

Wir werden oft in [–∞, mit den „Werten“ ±∞ rechnen. Dazu erweitern wir die üblichen Rechenregeln.

Tab. 7.1. Rechenregeln in mit x, y ∈ und a, b ∈ (0, ∞).

▶ Übliche Konvention: .
▶ Besondere Konvention in der Maβtheorie: 0 · (±∞) = 0 (ist sonst nicht üblich).
▶ Nicht definiert sind: ∞ – ∞ und .
▶ ist kein Körper.

7.3 Definition. Die Borel σ-Algebra auf ist definiert durch

Die Definition der Borel-Mengen in ist im folgenden Sinn verträglich mit den Borel-Mengen in IR []:

7.4 Lemma. Es gilt , d.h. ist die Spur-σ-Algebra (vgl. Beispiel 2.3f) bezüglich .

Da [–∞, a) und (b, ∞] offene Umgebungen (bezüglich der Zweipunktkompaktifizierung [–∞, ∞] von ) der Elemente ±∞ sind, gilt auch

Diese Bemerkung ist für uns nicht so wichtig, wichtiger ist vielmehr die folgende Aussage.

7.5 Lemma. Die Borelmengen werden von allen Intervallen [a, ∞], a ∈ oder a ∈ ℚ, (bzw. von (a, ∞], [–∞, a), [–∞, a], a ∈ oder a ∈ ℚ) erzeugt.

Beweis. Setze Σ:= σ ([a, ∞]: a ∈ ℚ). Es seien a, b ∈ ℚ und B ∈ . Dann gilt

Damit ist gezeigt. Die anderen Fälle behandelt man entsprechend.

7.6 Definition. bzw. bezeichnet die Menge aller messbaren Funktionen u: bzw. .

7.7 Beispiel. a) ist genau dann messbar, wenn A ∈ (d. h. wenn A messbar ist).

Abb. 7.1. Links: Messbarkeit der Funktion . Rechts: Messbarkeit einer Treppenfunktion (mit N = 3 Stufen).

(vgl. Abb. 7.1).

b) Es seien A₁, ... ,A_N ∈ disjunkte Mengen, y_1, ... y_N ∈ . Dann ist

Denn: Offensichtlich ist g(x) = 0 für . Wenn wir y₀:= 0 setzen, gilt und daher ist (vgl. Abb. 7.1).

7.8 Definition. Eine einfache Funktion auf (E, ) ist eine Treppenfunktion der Form

(7.1)

Gilt sogar

(7.2)

dann heißt (7.2) Standarddarstellung; bezeichnet die Familie der einfachen Funktionen.

Die Darstellungen (7.1) und (7.2) sind nicht eindeutig.

7.9 Beispiel. a) Jede messbare Funktion h ∈ mit endlicher Wertemenge h(E) = {y₁, ..., y_m} ist eine einfache Funktion. Da die Mengen

disjunkt sind, ist nämlich eine Standarddarstellung.

Folgerung: Jedes h ∈ besitzt eine Standarddarstellung.

b) Es gilt f, g ∈ ⇒ f ± g, f · g ∈ .

Für die Standarddarstellungen

Beachte: (A_m ∩ B_n)_n,m ist die gemeinsame Verfeinerung der Partitionen (A_m)_m und (B_n)_n. Auf jeder der Mengen A_m ∩ Bn sind f und g konstant.

c) (vgl. Definition 7.10 und Abbildung 7.2).

Abb.7.2. Positiv- und Negativteil einer Funktion u: E → IR. Offenbar gilt u = u⁺ – u^–und |u| = u⁺ + u^–.

7.10 Definition. Es sei u: . Dann heißt

Offenbar ist jede einfache Funktion auch messbar. Wir zeigen nun, dass jede Funktion u durch einfache -messbare Funktionen approximiert werden kann.

7.11 Satz (Sombrero-Lemma). Jede -messbare Funktion u:: E → [0, ∞] ist aufsteigender Limes einer Folge f_n ≥ 0, d. h.

Beweis. Setze wobei

Offensichtlich (vgl. Abb. 7.3) gilt dann

Abb. 7.3. Der Wertebereich der Funktion u wird in horizontale Stufen zerlegt.

7.12 Korollar. Für jede -messbaren Funktion u: E → existiert eine Folge , so dass |f_n| ≤ |u| und u = lim_n f_n.

Beweis. Für messbare Funktionen gilt {u⁺ > λ} = {u > λ} (für λ ≥ 0) bzw. [u⁺ > λ} = E (für λ < 0). Das zeigt, dass u^± positive messbare Funktionen sind. Die Behauptung des Korollars folgt nun, indem wir Satz 7.11 auf u^± anwenden.

Die folgenden Korollare zeigen grundlegende Eigenschaften messbarer Funktionen.

7.13 Korollar. Es sei eine Folge messbarer Funktionen. Dann gilt

und, wenn der Limes existiert, lim_n→∞ u_n ∈ .

▶ sup_n u_n ist die punktweise definierte Funktion sup_n u_n(x) Vx ∈ E (analog: inf usw.).
▶ Zur Erinnerung: Der Limes inferior und superior sind folgendermaßen definiert:

Beweis von Korollar 7.13. 1°) Behauptung: sup_n u_n ∈ . Das folgt aus der Gleichheit die man folgendermaßen beweist:

2°) Es ist –u_n ∈ , da {–u_n > λ} = {u_n < –λ} ∈ .

3°) 1° und 2° zeigen inf_n u_n = - sup_n(–u_n) ∈ . Wegen der Definition von lim inf und lim sup ist dann

4°) Wenn lim_n u_n existiert, dann gilt .

7.14 Korollar. u, υ: E → -messbar. Dann sind

messbar – sofern diese Ausdrücke definiert 5 sind.

Beweis. Nach Satz 7.11 gibt es . Nun gilt

und für n → ∞ sind die Grenzwerte u ± v, u v, u v v, u ∧ v nach Korollar 7.13 messbar.⁶

7.15 Korollar. Es ist u ∈ genau dann, wenn .

7.16 Korollar. Wenn u, v ∈ , dann sind folgende Mengen messbar:

Beweis. Es gilt

Daher sind auch {u = v} = {u ≤ v} ∩ {u ≥ v} und {u ≠ v} = {u = v}^c messbar. Den Fall [u < v} erledigt man ganz ähnlich.

Am Ende dieses Kapitels zeigen wir noch ein Resultat, das für die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig sein wird.

7.17 ♦ Lemma (Faktorisierungslemma). Es sei messbar. Dann

Beweis. „⇐“: Nach Definition ist T σ(T)-messbar. Also ist auch die Komposition

„⇒“: Es sei u σ(T)-messbar. Wir müssen ein geeignetes w finden.

1°) Angenommen Damit erhalten wir .
2°) Nun sei . Für eine Standarddarstellung von u finden wir mit Hilfe von 1° und der Linearität ein geeignetes .
3°) Schließlich sein . DasSombrero-Lemma (Satz 7.11)zeigt u = lim_n→∞ f_n für eine Folge . Aus Schritt 2° wissen wir aber, dass f_n = w_n ∘ T für einfache Funktionen . Wir definieren w:= lim inf_n→∞ . Dann gilt