9 Das Integral messbarer Funktionen

In diesem Kapitel bezeichne (E, , µ) einen Maßraum. Wir wollen nun das Integral von auf fortsetzen. Da das Integral linear sein soll, werden wir das Integral durch Linearität fortsetzen. Wie bisher bezeichnen wir mit den Positiv- und Negativteil von .

9.1 Definition. u: heißt (µ-)integrierbar, wenn

In diesem Fall definieren wir

(9.1)

∫ u dµ heißt (µ-)Integral von u. Die Familie der µ-integrierbaren Funktionen ist , mit ℒ¹(µ) bezeichnen wir die -wertigen integrierbaren Funktionen.

Abb. 9.1. Vom Maß zum Integral - und zurück. Die Abbildung zeigt alle Schritte, wie man vom Maß zum Integral gelangt. Da , können wir aus dem Integral das ursprüngliche Maß rekonstruieren.

9.2 Bemerkung. a) Weitere Schreibweisen: ∫ u dµ = ∫ u(x) µ(dx) = ∫ u(x) dµ(x).

b) Wenn µ = λ^d, dann nennen wir u Lebesgue-integrierbar und schreiben oft λ^d (dx) = dx, d. h. ∫ u(x) dx usw.

c) Die Forderung ∫u^± dµ < ∞ in Definition 9.1 schließt den Fall „∞ – ∞“ aus. Beachte, dass wir für u ≥ 0 auch ∫ u dµ = ∞ zulassen, dass dann aber nur gilt, wenn ∫ u dµ < ∞.

d) Wenn u = f – g eine weitere Darstellung von u als Differenz positiver messbarer Funktionen ist, dann gilt auch ∫ u dµ = ∫ f dµ – ∫ g dµ (sofern die Differenz definiert ist). Das sieht man so: Indem wir u⁺ – u^- = f – g umstellen, erhalten wir , und damit

9.3 Satz (Integrabilitätskriterium). Für eine messbare Funktion sind folgende Aussagen äquivalent:

• a)
• b)
• c)
• d)

Beweis. a)⇔b) Das ist gerade die Definition des Integrals.

b)⇒c) |u| = u⁺ + u^–⇒ ∫ |u| dµ = ∫ u⁺ dµ + ∫ u^–dµ < ∞.

c)⇔d) Wähle w:= |u|.

d)⇒b) u^± ≤ |u| ≤ w ⇒ ∫ u^± dµ ≤ ∫ w dµ < ∞.

Die Definition des Integrals ist gerade so gewählt, dass sich die Eigenschaften des Integrals von auf übertragen.

 

9.4 Satz. und . Dann

a) , ∫ αu dµ = α ∫ u dµ;	(homogen)
b) (wenn definiert), ∫ (u + w) dµ = ∫ u dµ + ∫ w dµ;	(additiv)
c) ;	(Verband)
d) u ≤ w ⇒ ∫ u dµ ≤ ∫ w dµ;	(monoton)
e) |∫ u dµ| ≤ ∫ |u| dµ.	(Dreiecks-Ungl.)

Beweis. Da u und w messbar sind, sind auch die Funktionen αu, u + w (sofern definiert – „∞ – ∞“-Problematik!), u ∧ w und u ∧ w wiederum messbar. Es reicht daher, die Integrierbarkeit der Beträge zu prüfen.

• a) ∈ wegen Satz 9.3 und Lemma 8.8.b). Die Formel für das Integral folgt nun aus (αu)^± = αu^± (für α ≥ 0) bzw. .
• b) wegen Satz 9.3 und Lemma 8.8.c). Die Formel für das Integral folgt nun mit Hilfe von Bemerkung 9.2.d) und der Zerlegung
  
• c) .
• d) Aus u ≤ w folgt u⁺ ≤ w⁺ und w^–≤ u^–. Wegen der Monotonie des Integrals gilt
• e)

9.5 Bemerkung. Wenn αu + βw in definiert ist (d. h. „∞ – ∞“ tritt nicht auf), dann besagt Satz 9.4.a), b)

Für u, w ∈ ℒ¹ (µ) gilt das immer.

• ► ist ein Vektorraum.
  • ►► Addition: (u + w)(x) = u(x) + w(x), x ∈ E
  • ►► skalare Multiplikation: (αu)(x) = αu(x), x ∈ E,
• ► ℒ¹ (µ) ∋ u ↦ ∫ u dµ ist positives lineares Funktional.

9.6 Beispiel (Fortsetzung von Beispiel 3.5 und 8.10).

• a) Sei ein beliebiger Messraum und γ ∈ E fest. Dann gilt ∫ u(x) δ_γ(dx) = u(γ) und und |u(γ)| < ∞.
• b) Im Maßraum sind alle Funktionen messbar. Wegen 8.10.b) gilt
  
  und es folgt .

  Für α₁ = α₂ = ⋯ = 1 ist ℒ¹ (µ) der Raum aller absolut-summierbaren Folgen:7

  
• c) Es sei ein W-Raum und eine Zufallsvariable (d. h. eine messbare Funktion). Dann heißt
  
  der Erwartungswert von Y (wenn .

  Wichtiger Sonderfall: Es sei , d. h. Y sei beschränkt. Dann gilt

  

  Konsequenz: Für jede beschränkte Zufallsvariable gilt und existiert.

Die Umkehrung der Aussage c) ist falsch! Betrachte, z. B. in b) die Folge α_n = 2^-n (damit erhalten wir einen W-Raum) und mit Y(n) = n. Dann ist Y nicht beschränkt, aber konvergiert.

9.7 Definition. Es sei oder . Dann

Beachte: Wir haben .

Definition 9.7 erlaubt es uns insbesondere, das Integral als Funktion des Integrationsbereichs zu verstehen, also A ↦ ∫_A…, und dadurch viele neue Maße und Mengenfunktionen zu konstruieren, z. B. wie im folgenden Lemma. [✍]

 

9.8 Lemma. Es sei . Dann ist

ein Maβ auf (E, ). ν heißt Maß mit der Dichte(funktion) u (bzgl. µ).

 

9.9 Bemerkung. Folgende Bezeichnungen sind üblich: ν = u · µ oder dν = u · dµ. Oft schreibt man . Diese Bezeichnung kommt vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Mit den Bezeichnungen λ = λ¹ und λ(dx) = dx erhalten wir

Die positive Dichte u ≥ 0 induziert das Maß ν:

Aufgaben

1. Es sei u: eine messbare Funktion. Zeigen Sie, dass für ein Maß µ
   
2. (Komplexwertige Integranden) Es sei (E, , µ) ein Maßraum und C der Körper der komplexen Zahlen. Wir bezeichnen mit x = Re z und y = Im z den Real- bzw. Imaginärteil von und mit die Euklidische To pologieauf , die die „übliche“ Konvergenz in beschreibt. Weiter sei . Zeigen Sie:
   • (a) stimmt mit überein.
   • (b) Eine Abbildung h: E →ℂ ist genau dann -messbar, wenn Re h und Im h - messbar sind.

   Eine Funktion h: E →ℂ heißt µ-integrierbar, falls Re h und Im h µ-integrierbar sind; wir schreiben {µ) für die komplexwertigen µ-integrierbaren Funktionen. Das Integral ist definiert als . Dann gilt:

   • (c) h → ∫ hdµ definiert auf eine C-lineare Abbildung.
   • (d) Re ∫ h dµ = ∫ Reh dµ und Im ∫ hdµ - ∫ Im hdµ.
   • (e) ∣∫hdµ∣ ≤ ∫∣h∣dµ.

     Hinweis: Da ∫h dµ ∈ ℂ gibt es ein 0 ∈ (-π, π], so dass e^iθ ∫ h dµ ≥ 0.

   • (f) .
3. (Reihenvergleichskriterium)Es sei (E, , µ) ein endlicher Maßraum. Zeigen Sie:
   • (a)
   • (b)
4. Es sei (Ω, ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie, dass eine -integrierbare Funktion nicht beschränkt sein muss.
5. (Fatou - verallgemeinert) Es sei (E, , µ) ein Maßraum und .
   • (a) Wenn es ein u ∈ ℒ¹ (µ) mit u_i(x) ≥u(x), i ∈ N, x ∈ E gibt, dann gilt:
     
   • (b) Wenn es ein v ∊ ℒ¹ (µ) mit v_i(x) ≤v(x), i ∈ , x ∈ E gibt, dann gilt:
     
   • (c) Wenn w(x) = lim_i w_i (x) für alle x ∈ E existiert und wenn lw_i (x) 1 ≤ g(x) für ein g ∈ ℒ¹ (µ) und alle x ∈ E gilt, dann ist w ∈ ℒ¹ (µ) und
     
   • (d) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die halbseitige Beschränktheit durch integrierbare Funktionen eine wesentliche Annahme in (a) und (b) ist.
6. (Satz von Egorov) Es sei (E, , µ) ein endlicher Maßraum und , eine Folge messbarer Funktionen.
   • (a)
   • (b) Wir nehmen an, dass für alle x außerhalb einer Nullmenge. Dann gilt für die Mengen
     
   • (c) Satz (Egorov). Auf einem endlichen Maßraum sei (eine Folge messbarer Funktionen, die punktweise (überall oder außerhalb einer Menge vom Maß Null) gegen eine Funktion f konvergiert. Dann gibt es für jedes ∈ > 0 eine Menge ,so dass f_n → f gleichmäßig auf A_ε (also: ).
   • (d) Geben Sie ein Beispiel an, dass die Voraussetzung µ(E) < ∞ für den Satz von Egorov wesentlich ist (betrachten Sie etwa das Zählmaß auf N oder das Lebesgue-Maß auf ).