13 Riemann vs. Lebesgue

Die Lebesguesche Integrationstheorie wurde entwickelt, weil der Riemannsche Integralbegriff sich für viele Anwendungen als zu eng erwies. In diesem Kapitel zeigen wir, dass das Lebesgue–Integral das Riemann–Integral fortsetzt. Das erlaubt es uns, in vielen Situationen Stammfunktionen „Riemannsch“ zu berechnen und so die Vorzüge beider Theorien zu verbinden. Wir werden auch eine notwendige und hinreichende Charakterisierung aller Riemann-integrierbaren Funktionen angeben (dazu benötigt man interessanterweise den Begriff der Lebesgue–Nullmenge). Wir schreiben

R- / L-integrierbar = Riemann- / Lebesgue-integrierbar,

Zunächst erinnern wir kurz an die Definition des Riemann–Integrals. Auf einem endlichen Intervall sei eine beschränkte Funktion gegeben. Dann heißt

13.1 Definition. Eine beschränkte Funktion heißt R-integrierbar, wenn

Der gemeinsame Wert (R) u ist das R-Integral von u.

Offensichtlich haben wir

und entsprechend ist

Für jede Verfeinerung Π′ ⊃ Π der Partition Π gilt dann

Abb.13.1. Beim R-Integral werden die Stützstellen t_n im Definitionsbereich des Integranden fest gewählt, während beim Lebesgue–Integral der Wertebereich fest aufgeteilt wird, und somit die Werte von u die Partitionierung des Definitionsbereichs bestimmen.

13.2 Satz. Es sei u: Borel-messbar und R-integrierbar. Dann

Beweis. Es sei u R-integrierbar. Dann gibt es eine Folge von Partitionen Π_n mit

Wir dürfen o. E. annehmen, dass Π_n ⊂ Π_n+1 ⊂ ... (sonst betrachten wir Π₁ ∪ ... ∪ Π_n).

Daher gilt

und mit monotoner Konvergenz (MK) sehen wir

(*)

Es folgt

Da u zudem Borel-messbar war, sehen wir u ∈ ℒ¹(λ).

Der Beweis von Satz 13.2 zeigt noch mehr: Wenn u R-integrierbar (aber nicht notwendig Borel-messbar) ist, dann gibt es eine messbare Funktion Σ_u ∈ ℒ¹(λ) mit u = Σ_u f. ü. und

13.3 Satz. Es sei u: [a, b] → ℝ beschränkt. Dann gilt

Die Menge der Stetigkeitsstellen {x: u stetig in x} einer beliebigen Funktion u: [a, b] → IR ist sogar eine Borelmenge, vgl. Anhang A.3.

Beweis von Satz 13.3. „⇒“: Für eine R-integrierbare Funktion u seien Π_n und σ_u, Σ_u wie im Beweis von Satz 13.2. Wegen der Eigenschaften von sup und inf gilt

Somit erhalten wir für x ∈ [a, b] \ ∪_n∈ℕ Π_n und wie oben

Nun gilt [Σ_u ≠ σ_u} ∈ da u R-integrierbar ist (vgl. Beweis von 13.2), und daher ist

„⇐“: Umgekehrt sei {x: u(x) ist unstetig} Teilmenge einer Nullmenge.

∀x ∉ {u unstetig} ∀Π ⊂ [a, b] Partition ∃k = k(x, Π): x ∈ [t_k–1, t_k]

Es folgt, dass die Funktion u R-integrierbar ist.

Die Sätze 13.2 und 13.3 gelten i. Allg. nicht für uneigentliche Riemann-Integrale.

Aufgaben

Zeigen Sie, dass für alle gilt.
Hinweis: Zeigen Sie , t > 0, und differenzieren Sie diese Identität.

(a) Zeigen Sie, dass für alle k = 0, 1, 2, ... gilt.
(b) Verwenden Sie Teil (a), um zu zeigen.

Zeigen Sie, dass die Funktion

, x ≥0, für jedes α > 0 Lebesgue-integrierbar ist.

Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen auf den angegebenen Intervallen Lebesgue-integrierbar sind:

(a) [1, ∞);
(b) [1, ∞);
(c) (0, 1];
(d) , (0,1];
(e) , (0, 1];
(f) , (0, ∞).

Was würde sich ändern, wenn wir stattdessen [, 2] wählen?

Hinweis: Betrachten Sie zunächst etc. und nutzen Sie monotone Konvergenz sowie Aussagen über den Zusammenhang von Riemann- und Lebesgue-Integralen.

Beweisen Sie folgende Gleichheit:

Hinweis: Verwenden Sie die geometrische Reihe und bestimmen Sie Im .

Berechnen Sieden Grenzwert

Es sei

, t > 0, wobei

(a) Zeigen Sie, dass ƒ auf (0, ∞) differenzierbar, dass aber ƒ′(0+) nicht existiert.
(b) Finden Sie eine geschlossene Darstellung für f′ sowie für ƒ(0) und lim_t→∞ f(t).

Finden Sie eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen