14 Die Räume und L^p

Es sei (E, , µ) ein Maßraum. Analog zu den integrierbaren Funktionen führen wir nun die p-fach integrierbaren Funktionen ein. Diese Räume spielen auch in der Funktionalanalysis eine große Rolle.

 

14.1 Definition. Es sei p ∈ [1, ∞). Dann sind

die Räume der p-fach integrierbaren Funktionen. Wir schreiben

Je nachdem, ob wir das Maß µ, die Grundmenge E oder die Messbarkeit bezüglich hervorheben möchten, schreiben wir auch , , oder nur .

Die Abbildung , verhält sich im Wesentlichen wie eine Norm:

• a) f. ü. (Satz 10.2.a) für p < ∞, trivial für p = ∞).
• b) . =

Nur die Dreiecksungleichung für die Norm ist nicht offensichtlich. Dazu benötigen wir eine elementare Ungleichung, die direkt aus Abb. 14.1 abgelesen werden kann.

 

14.2 Lemma (Youngsche Ungleichung). Die Exponenten p, q ∈ (1, ∞) seien konjugiert, d. h. p^–1 + q^–1 = 1 (also: q = p/(p – 1)). Dann

(14.1)

Zusatz: In (14.1) gilt „=“ genau dann, wenn .

Abb.14.1. Youngsche Ungleichung.

Mit Hilfe der Youngschen Ungleichung können wir die folgende fundamentale Ungleichung für Integrale beweisen.

 

14.3 Satz (Höldersche Ungleichung). Für und mit , p, q ∈ [1, ∞], gilt und

(14.2)

Beweis. Die erste Ungleichung in (14.2) ist klar, die zweite Ungleichung folgt so:

 

Fall 1: p, q ∈ (1, ∞). Setze

Wegen (14.1) erhalten wir

Wir integrieren nun auf beiden Seiten

woraus die behauptete Ungleichung durch Multiplikation mit folgt.

Fall 2: p = 1, q = ∞. Definitionsgemäß haben wir f. ü., also

14.4 Korollar (Cauchy–Schwarz Ungleichung). Für u, gilt und

(14.3)

Beweis. Verwende Satz 14.3 mit p = q = 2.

14.5 Korollar (Minkowski-Ungleichung). Für beliebige und p ∈ [1, ∞] gilt u + w ∈ , sowie

(14.4)

Beweis. Der Fall p = ∞ ist eine Übung. [✍] Sei p ∈ [1, ∞). Zunächst folgt die p-fache Integrierbarkeit aus

Weiterhin haben wir

Da q = p/(p – 1) gilt auch

und die Behauptung folgt durch Division mit .

14.6 Bemerkung. a) Korollar 14.5 besagt insbesondere, dass für u, und α, wiederum gilt, d. h. ist ein Vektorraum.

b) f. ü., d. h. ist nur ein quasi-normierter Raum, da nicht notwendig u ≡ 0 gilt. Es gibt aber ein Standardverfahren, um zu einem echten normierten Raum zu machen.

• ▶ u, sind äquivalent, .
• ▶ Äquivalenzklasse mit Repräsentant u.
• ▶ .
• ▶ .
• ▶ L^p(µ) ist ein Vektorraum [✍] und darauf eine Norm.

Und hier ist die übliche Standardschlamperei (der wir uns aber anschließen werden): Es ist üblich, von L^p-Funktionen zu sprechen und [u] mit einem guten Repräsentanten u₀ ∈ [u] zu identifizieren. Beachte

• ▶ Es reicht aus, mit den Repräsentanten von L^P-Funktionen zu rechnen.
• ▶ Jeder Repräsentant ist nur bis auf eine Nullmenge bestimmt.
• ▶ , da gilt u: , .

c) u, w ∈ L^p(µ). Dann sind Ausdrücke der Art

stets bis auf eine Ausnahme-Nullmenge, also „f. ü.“ zu verstehen.

d) messbar und .

 

Wir wollen nun als quasi-normierten Raum studieren.

14.7 Definition (L^P-Konvergenz). Es seien , , p ∈ [1, ∞].

• a) Die Folge konvergiert in L^p gegen , wenn . Wir schreiben oder L^P-lim_n→∞ u_n = u.
• b) Die Folge heißt L^P-Cauchy-Folge, wenn
  

14.8 Bemerkung. a) Jede in L^p konvergente Folge ist auch eine Cauchy-Folge. Wenn u den L^p-Grenzwert bezeichnet, dann sehen wir mit der Minkowski-Ungleichung ; die rechte Seite konvergiert für m, n → ∞ gegen Null.

b) Es sei eine Folge, die für alle (oder µ-fast alle) x ∈ E einen punktweisen Grenzwert u(x) = lim_n→∞ u_n(x) hat. Dann folgt i. Allg. nicht die L^p-Konvergenz!

Hinreichend wäre, wenn zusätzlich (Satz 11.3 bzw. Satz 14.12).

Wir zeigen nun die Umkehrung von 14.8.a): Der Raum , p ∈ [1, ∞], ist vollständig. Zur Vorbereitung brauchen wir folgendes Hilfsresultat.

 

14.9 Lemma. Es seien , p ∈ [1, ∞], u_n ≥ 0. Dann

Beweis. Wir verwenden die Minkowski-Ungleichung N mal:

Da , folgt mit Beppo Levi

14.10 Satz (Riesz-Fischer). Der Raum p ∈ [1, ∞], ist vollständig d. h. jede Cauchy-Folge konvergiert gegen ein .

 

Beweis. 1°) Hauptproblem: Wie sieht der Grenzwert u aus? Nach Annahme ist eine Cauchy-Folge, und daher existieren natürliche Zahlen

mit

Wir finden u, indem wir u_n(k+1) als Teleskopsumme schreiben:

Falls gilt, dann gilt auch , d. h.

ist ein Kandidat für den Grenzwert.

 

2°) u ist wohldefiniert. Das folgt aus

Also ist u f. ü. definiert, und auf der Ausnahmemenge setzen wir u = 0.

 

3°) Wir zeigen: . Es gilt

4°) Wir zeigen: u_n. Für alle ∈ > 0 und n, n(k) ≥ N_∈ gilt

Der Beweis von Satz 14.10 zeigt auch:

 

14.11 Korollar. Es sei , p ∈ [1, ∞], , dann existiert eine Teilfolge , so dass für fast alle x.

Wir notieren noch die L^p-Version des Konvergenzsatzes von Lebesgue (Satz 11.3).

 

14.12 Satz (L^P-dominierte Konvergenz). Es sei , p ∈ [1, ∞). Wenn

• ▶ f ü.,
• ▶► |u_n| ≤ w f.ü. für alle n und ein ,

dann ist und es gilt

• a) .
• b) .

Beweis. [✍] Hinweis: ⇐⇒ messbar & . Beachte wo Nullmengen auftreten und wie sie sich aufbauen. Wende den Satz von der dominierten Konvergenz auf an.

Konvergenz in L^p ≠ Konvergenz der L^P-Normen

Den genauen Zusammenhang zwischen der „Normkonvergenz“ und „Konvergenz der Normen” gibt der folgende Satz von F. Riesz.

14.13 Satz (Riesz). Es sei , p ∈ [1, ∞). Wenn f.ü. und , dann gilt

Beweis. „⇒“: Es ist . Indem wir die Rollen von u_n und u vertauschen, erhalten wir die Dreiecks-Ungleichung „nach unten“

woraus die Behauptung unmittelbar folgt.

„⇐“: Wegen

können wir Fatous Lemma auf die Funktionen 2^p(|u_n|^p + |u|^p) – |u_n – u|^p ≥ 0 anwenden, und erhalten

Daher ist , da für positive Folgen a_n ≥ 0 aus lim sup_n a_n = 0 sofort lim_n a_n = 0 folgt.

14.14 Beispiel. Es sei das Zählmaß auf (). Der zugehörige L^p-Raum ist ein Folgenraum, der Raum der p-summierbaren Folgen:

Die Hölder- und Minkowski-Ungleichungen für das Zählmaß werden dann zu den aus der Analysis bekannten Ungleichungen für Reihen.

Hölder-Ungleichung (für Reihen):

Minkowski-Ungleichung (für Reihen):

Wir wollen nun noch eine praktische Konvexitätsungleichung herleiten. Dazu benötigen wir ein einleuchtendes - aber unangenehm zu beweisendes - Resultat.

Abb.14.2. Konvexe Funktion.

Abb.14.3. Jede konvexe Funktion ist die obere Einhüllende affinlinearer Funktionen.

Lemma. ([8, Lemma 12.13, S. 115 f.]). Es sei konvex. Dann gilt

• a) V(x) = sup {ℓ(x): ℓ affin-linear, ℓ(y) ≤ v(y) ∀_y}.
• b) V ist stetig und hat an jeder Stelle x ∈ (a, b) einseitige Ableitungen.

14.15 Satz (Jensen-Ungleichung). Es sei V: [0,∞) → [0,∞) konvex, µ ein W-Maß auf (). Dann gilt

Beweis. ist messbar, da V|_(0,∞) stetig ist. Daher sind alle Integrale definiert. Weiter sei V(∞):= lim_x→∞ V(x). Ist ∫ V(u) dµ = ∞, dann ist nichts zu zeigen. Sei also ∫ V(u) dµ < ∞.

Für eine affin-lineare Funktion ℓ(x) = αx β gilt

Somit (l bezeichnet stets eine affin-lineare Funktion)

Wir erwähnen noch einige wichtige Spezialfälle.

 

14.16 Beispiel. Es sei µ ein W-Maß und v, p beliebige Maße.

• a)
• b)
• c) „Jensen konkav“: konkav (z. B. √x). Dann gilt
  
• d) Oft kann man durch geschickte Normierungen die Jensensche Ungleichung auch für allgemeinere Maße anwenden. Für κ:= v(E) < ∞ ist µ:= κ^-1ν ein W-Maß. Dann gilt
  

  Für ein beliebiges Maß p wählen wir ∫ ∈ ∫ > 0 und K = ∫ f d p < ∞. Dann ist µ:= k^-1 fp ein W-Maß, und

  

Aufgaben

1. Es sei () ein endlicher Maßraum und 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. Zeigen Sie, dass
   
   und folgern Sie, dass für p ≥ q ≥1.
2. Es sei () ein Maßraum, 1 ≤ p ≤ r ≤ q ≤ ∞ und • Zeigen sie:
   
3. (Verallgemeinerte Hölder-Ungleichung) Zeigen Sie, dass in einem Maßraum ()
   
   für alle messbaren u_i ∈ M() und alle p_i ∈ (1, ∞) mit gilt.
4. Es seien () ein endlicher Maßraum und u ∈ ℒ¹ (µ) mit u > 0 und ∫ u dµ = Zeigen Sie:
   

   Wie lautet die entsprechende Aussage für ein Wahrscheinlichkeitsmaß?

5. Es sei () ein Maßraum und f, g ℒ^p(µ). Finden Sie Bedingungen dafür, dass
   • (a) fg, f + g und af, a ∈ IR, wieder in ℒ^p(µ) sind.
   • (b) Zeigen Sie, dass ℒ¹(µ) und ℒ²(µ) keine Funktionenalgebren sind.
   • (c) Zeigen Sie die Dreiecksungleichung nach unten:
6. Es sei eine Menge mit mindestens zwei Elementen und seien nicht leer.
   • (a) Bestimmen Sie alle messbaren Abbildungen , wenn (i) , (ii) .
   • (b) Charakterisieren Sie für alle p > 0 den Raum .
7. Für welche p ≥ 1 ist , p-fach Lebesgue-integrierbar?
8. Zeigen Sie, dass genau dann in ℒ² konvergiert, wenn lim_n,m ∫ u_nu_m dµ existiert.
9. Es sei () ein Maßraum und u ∈ ∩_p≥1 ℒ^p(µ). Zeigen Sie, dass (für unbeschränktes u gilt .
10. Es sei () ein Wahrscheinlichkeitsraum und ∥u∥l_ℒq < ∞ für ein q > 0. Zeigen Sie, dass (wir setzen e^-∞ = 0).
11. Es seien () ein Maßraum, p ∈ (0,1) und . Zeigen Sie, dass für u, v ∈ ℒ^P(µ) und mit u,v,w > 0