Est-ce que les zéros de Riemann s’étendent tous sur la ligne verticale à 1/2 ? Cette question se tient entre nous et les mystères des nombres premiers.
De nos jours encore, les nombres premiers restent un des principaux soucis des mathématiciens. Le trouble réside dans le fait qu’ils sont trop imprévisibles. Il est très difficile de dire quand le prochain nombre premier apparaîtra : parfois, ils apparaissent serrés et rapides (par exemple : 191, 193, 197, 199) et à d’autres moments il y a de nombreux intervalles entre eux (par exemple : 773, 787, 797, 809). En 1859, Bernhard Riemann produisit une formule donnant un sens à ce chaos. C’était exactement ce que les mathématiciens recherchaient. Elle affirmait la quantité exacte de nombres premiers en-dessous de toute limite, et par ce moyen prédit le prochain nombre premier avec son exactitude complète. Bien que les expérimentations suggérèrent qu’elle fonctionnait parfaitement, Riemann ne fut pas capable de prouver qu’elle pourrait toujours donner la bonne réponse. La formule est centrée sur un mystérieux objet, dénommé « fonction zêta de Riemann ». Une fonction est une règle qui prend un nombre comme une entrée et expulse un autre en tant que sortie. Dans le cas de Riemann, cette fonction possède à la fois des entrées et des sorties pour tous les nombres complexes (voir Nombres imaginaires). Ce que Riemann avait besoin de savoir était laquelle des entrées produisait zéro. Il croyait et émit l’hypothèse que tous les zéros importants se déployaient sur une ligne verticale qui atteint l’axe réel (a) à 1/2, doublant la « ligne critique ». Lui et personne d’autres n’ont jamais prouvé que cela est exact.
CONDENSÉ EN 3 SECONDES
Bernhard Riemann formula une règle décrivant la distribution des nombres premiers. Elle fonctionne mais personne n’a pu prouver qu’elle est correcte.
RÉFLEXION EN 3 MINUTES
Bien que l’hypothèse de Riemann n’a pas été prouvée, ses idées furent suffisantes pour prouver un résultat important plus étendu : le théorème des nombres premiers. Supposé par Gauss en 1849, il fournit une excellente estimation du nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. Cela n’est pas exact mais bon jusqu’à un certain niveau élevé d’exactitude. Gauss ne fut pas capable de le prouver. En 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin, le déduisirent indépendamment, en rétrécissant les zéros de Riemann à l’intérieur d’une bande critique entre 0 et 1.
THÉORIES LIÉES
BIOGRAPHIES EN 3 SECONDES
CARL FRIEDRICH GAUSS
1777–1855
BERNHARD RIEMANN
1826–1866
JACQUES HADAMARD
1865–1963
CHARLES DE LA VALLÉE-POUSSIN
1866–1962
TEXTE EN 30 SECONDES
Richard Elwes