Abbildung 3.1: Fluchtgeschwindigkeit radial gerichtet und senkrecht zum Radius gerichtet.
Wir machen weiter mit diesem Wiederholungskurs und fragen uns, wie man Physik lernen kann, indem man eine Reihe von Aufgaben löst. Alle Aufgaben, die ich ausgewählt habe, sind ausgetüftelt, kompliziert und schwierig. Ich überlasse Ihnen die leichten Aufgaben. Außerdem leide ich unter der Krankheit, unter der alle Professoren leiden – es scheint nie genug Zeit zu geben und ich habe mir zweifellos mehr Aufgaben ausgedacht, als wir schaffen können. Deshalb habe ich versucht, Zeit zu gewinnen, indem ich einige Dinge im Voraus an die Tafel geschrieben habe, und zwar mit der Illusion, die jeder Professor hat: Wenn ich mehr rede, lehre ich auch mehr. Natürlich gibt es nur ein begrenztes Maß an Stoff, das der menschliche Verstand aufnehmen kann, trotzdem missachten wir oft diesen Sachverhalt und gehen zu schnell voran. Ich denke, wir sollten deshalb heute langsam machen und sehen, wie weit wir kommen.
Zuletzt haben wir über Satellitenbewegungen gesprochen. Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, ob ein Massenpunkt, der sich in einem Abstand a senkrecht zum Radius der Sonne, eines Planeten oder einer anderen Masse M mit Fluchtgeschwindigkeit bewegt, auch tatsächlich die Bindung überwinden würde – das ist nicht selbstverständlich. Das wäre es, wenn er direkt radial nach außen gerichtet wäre. Aber ob er es tun würde oder nicht, wenn er senkrecht zum Radius gerichtet ist, das ist eine andere Frage (siehe Abbildung 3.1).
Es stellt sich heraus, dass wir – wenn wir uns an einige der keplerschen Gesetze erinnern und einige andere Gesetze wie den Energieerhaltungssatz dazunehmen – Folgendes ausrechnen können: Wenn der Massenpunkt nicht entweichen würde, so würde er sich auf einer ellipsenförmigen Bahn bewegen, und wir können berechnen, wie weit weg er sich bewegen würde. Und das werden wir jetzt tun. Wenn a das Perihel der Ellipse ist, wie weit ist dann das Aphel b entfernt? (Übrigens habe ich versucht, diese Aufgabe an die Tafel zu schreiben, aber ich wusste nicht, wie man „Perihel“ schreibt!) (siehe Abbildung 3.2).
Abbildung 3.2: Geschwindigkeit und Abstand im Perihel und Aphel eines Satelliten, der sich auf einer elliptischen Bahn bewegt.
Letztes Mal haben wir die Fluchtgeschwindigkeit mithilfe des Energieerhaltungssatzes berechnet (siehe Abbildung 3.3).
Nun, das ist die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit im Radius a, aber nehmen wir an, die Geschwindigkeit va ist beliebig und wir versuchen, b als Funktion von va zu bestimmen. Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die kinetische Energie plus der potentiellen Energie des Massenpunktes im Perihel gleich der kinetischen Energie plus der potentiellen Energie im Aphel sein muss – und das können wir verwenden, um b zu bestimmen – jedenfalls auf den ersten Blick:
Infelizmente25 haben wir vb jedoch nicht, sodass wir die Gleichung (3.2) nie nach b auflösen können, es sei denn, es gibt irgendeine externe Vorrichtung oder Analyse, um vb zu erhalten.
Aber wenn wir uns an das keplersche Gesetz über gleiche Flächen erinnern, wissen wir, dass in einem gegebenen Zeitintervall im Aphel die gleiche Fläche überstrichen wird wie im Perihel: In einem kurzen Zeitintervall Δt bewegt sich der Massenpunkt im Perihel um den Weg vaΔt, sodass die überstrichene Fläche ungefähr avaΔt/2 beträgt, während im Aphel, wo sich der Massenpunkt mit vbΔt bewegt, die überstrichene Fläche ungefähr bvbΔt/2 beträgt. Und somit bedeutet „gleiche Flächen“, dass avaΔt/2 gleich bvbΔt/2 ist – und das bedeutet, dass die Geschwindigkeiten sich umgekehrt zu den Radien ändern (siehe Abbildung 3.4).
Das liefert uns eine Formel für vb als Funktion von va, die wir in die Gleichung (3.2) einsetzen können. Und damit haben wir eine Gleichung, um b zu bestimmen:
Die Division durch m und die Umstellung liefern:
Abbildung 3.4: Anwendung des keplerschen Gesetzes über gleiche Flächen, um die Geschwindigkeit eines Satelliten im Aphel zu bestimmen.
Wenn Sie Gleichung (3.5) eine Weile betrachten, könnten Sie sagen: „Na ja, ich kann mit b26 multiplizieren und dann habe ich eine quadratische Gleichung mit b.“ Oder Sie könnten, wenn Ihnen das besser gefällt, die Gleichung so nehmen wie sie ist und die quadratische Gleichung nach 1/b lösen – wie Sie wollen. Die Lösung für 1/b lautet:
Ich werde jetzt nicht die Algebra erörtern, Sie wissen, wie man eine quadratische Gleichung löst, und es gibt zwei Lösungen für b: Wie sich zeigt, lautet eine b gleich a – und das kommt gut hin, denn wenn Sie sich die Gleichung (3.2) anschauen, sehen Sie, dass es offensichtlich ist, dass die Gleichung passt, wenn b gleich a ist. (Das heißt natürlich nicht, dass b a ist.) Die andere Lösung liefert eine Formel für b als Funktion von a:
Die Frage ist, ob wir die Formel so schreiben können, dass die Beziehung von va zur Fluchtgeschwindigkeit im Abstand a ohne weiteres zu erkennen ist. Beachten Sie, dass laut Gleichung (3.1) 2GM/a das Quadrat der Fluchtgeschwindigkeit ist. Deshalb können wir die Formel folgendermaßen schreiben: a
Das ist das Endergebnis und es ist ziemlich interessant. Nehmen wir zunächst an, dass va kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit ist. Unter diesen Voraussetzungen würden wir erwarten, dass der Massenpunkt nicht entweicht, und deshalb sollten wir für b einen plausiblen Wert erhalten. Und ganz bestimmt ist, wenn va kleiner als vF ist, vF/va größer als 1 und das Quadrat ist ebenfalls größer als 1. Wenn wir die 1 abziehen, erhalten wir eine schöne positive Zahl, und wenn wir a durch diese Zahl dividieren, erhalten wir b.
Um die Genauigkeit unserer Analyse grob zu überprüfen, können wir gut die numerische Berechnung für die Umlaufbahn ausprobieren, die wir in der neunten Vorlesung2 angestellt haben. Dann können wir sehen, wie genau das b, das wir damals berechnet haben, mit dem b, das die Gleichung (3.8) liefert, übereinstimmt. Warum sollten die beiden nicht genau übereinstimmen? Weil die numerische Methode der Integration natürlich Zeit als kleine Kleckse und nicht als etwas Stetiges betrachtet. Deshalb ist die Übereinstimmung nicht perfekt. Auf jeden Fall bekommen wir b auf diese Weise, wenn va kleiner als vF ist. (Übrigens, wenn wir b und a kennen, kennen wir auch die große Halbachse der Ellipse und könnten so, wenn wir es wollten, die Periode der Umlaufbahn mithilfe der Gleichung (3.2) berechnen.)
Aber interessant ist Folgendes: Nehmen wir zunächst an, dass va genau gleich der Fluchtgeschwindigkeit ist. Dann ist vF/va gleich 1 und die Gleichung (3.8) besagt, dass in diesem Fall b unendlich ist. Das bedeutet, dass die Umlaufbahn keine Ellipse ist. Es bedeutet vielmehr, dass die Umlaufbahn gegen Unendlich geht. (Man kann zeigen, dass es sich in diesem speziellen Fall um eine Parabel handelt.) Somit stellt sich heraus: Wenn Sie sich irgendwo in der Nähe eines Sterns oder Planeten befinden und Sie sich mit Fluchtgeschwindigkeit bewegen (ganz gleich, in welche Richtung!), dann werden Sie entkommen – Sie werden nicht eingefangen, obwohl Sie nicht in die richtige Richtung gerichtet sind.
Eine weitere Frage ist, was passiert, wenn va größer als die Fluchtgeschwindigkeit ist. Dann ist vF/va kleiner als 1 und b wird negativ – und das bedeutet gar nichts. Es gibt kein reales b. Physikalisch sieht die Lösung so aus: Mit sehr großer Geschwindigkeit, wesentlich größer als die Fluchtgeschwindigkeit, wird ein ankommender Massenpunkt abgelenkt – aber seine Umlaufbahn ist keine Ellipse. Tatsächlich ist sie eine Hyperbel. Somit sind die Umlaufbahnen von Körpern, die sich um die Sonne bewegen, nicht nur Ellipsen, wie Kepler dachte, sondern die Verallgemeinerung auf größere Geschwindigkeiten schließt Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln ein. (Wir haben nicht bewiesen, dass es Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln sind, aber das ist die Lösung der Aufgabe.)
Diese Sache mit der hyperbolischen Umlaufbahn ist interessant und hat eine sehr interessante historische Anwendung, die ich Ihnen zeigen möchte. Sie ist in Abbildung 3.5 dargestellt. Wir nehmen den Grenzfall einer extrem hohen Geschwindigkeit und einer relativ kleinen Kraft. Das heißt, der Körper bewegt sich so schnell vorbei, dass er sich in der ersten Näherung auf einer geraden Bahn bewegt (siehe Abbildung 3.5).
Abbildung 3.5: Ein schnelles Proton wird vom elektrischen Feld abgelenkt, während es sich nahe am Atomkern vorbeibewegt.
Nehmen wir an, wir haben einen Atomkern mit der Ladung +Zqel (wobei −qel die Elementarladung ist) und einen geladenen Massenpunkt, der sich im Abstand b am Kern vorbeibewegt – irgendein Ion (ursprünglich war es ein Alphateilchen), es spielt keine Rolle, Sie können nehmen, was Sie wollen. Entscheiden wir uns für ein Proton mit der Masse m, der Geschwindigkeit v und der Ladung +qel (bei einem Alphateilchen wäre die Ladung +2qel). Das Proton bewegt sich nicht genau auf einer geraden Bahn, sondern wird in einem sehr kleinen Winkel abgelenkt. Die Frage ist, wie groß dieser Winkel ist. Nun, ich werde das nicht genau ausrechnen, aber grob überschlagen – um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie sich der Winkel in Abhängigkeit von b ändert. (Ich mache es nichtrelativistisch, obwohl es genauso einfach ist, wenn man die Relativität berücksichtigt – nur eine klitzekleine Änderung, die Sie selbst herausfinden können.) Je größer b ist, desto kleiner muss natürlich der Winkel sein. Und die Frage ist, wird der Winkel im Verhältnis zu b2, zu b3, zu b oder wie kleiner? Davon möchten wir eine Vorstellung bekommen.
(So gehen Sie jedes komplizierte oder unbekannte Problem an: Zuerst verschaffen Sie sich eine grobe Vorstellung, dann, wenn Sie es besser verstehen, gehen Sie noch einmal an den Anfang zurück und nehmen das Problem genauer in Angriff.)
Die erste grobe Analyse läuft dann ungefähr so ab: Wenn das Proton vorbeifliegt, wirken darauf seitliche, vom Kern ausgehende Kräfte – natürlich gibt es auch Kräfte, die in anderen Richtungen wirken, aber die seitliche Kraft bewirkt, dass das Proton abgelenkt wird anstatt sich weiter auf einer geraden Bahn zu bewegen. Jetzt hat es eine nach oben gerichtete Geschwindigkeitskomponente. Mit anderen Worten, es hat einen nach oben gerichteten Impuls als Folge der in dieser Richtung wirkenden Kräfte erhalten.
Wie groß ist nun die nach oben gerichtete Kraft? Na ja, sie ändert sich, wenn das Proton weiterfliegt, aber sie muss mehr oder weniger von b abhängen. Die maximale Kraft (wenn das Proton die zentrale Position durchläuft) beträgt
Abbildung 3.6: Die elektrische Kraft des Kerns wirkt während eines Zeitintervalls auf das Proton, das proportional zu dem kleinsten Abstand zwischen Kern und Proton ist.
(Ich habe e2 für 
eingesetzt, so kann ich die Gleichungen schneller schreiben.27
Wenn ich wüsste, wie lange diese Kraft wirkt, könnte ich den abgegebenen Impuls schätzen. Wie lange wirkt die Kraft? Nun, sie wirkt nicht, wenn das Proton einen Kilometer entfernt ist, aber, ganz allgemein gesagt, wirkt eine Kraft in dieser normalen Größenordnung so lange, wie sich das Proton in normaler Nähe befindet. Wie weit entfernt? Mehr oder weniger, wenn es sich innerhalb eines Abstandes b vom Kern bewegt. Somit liegt die Zeit, in der die Kraft wirkt, in einer Größenordnung des Quotienten aus dem Abstand b dividiert durch die Geschwindigkeit v (siehe Abbildung 3.6).
Das newtonsche Axiom besagt, dass Kraft gleich dem Maß der Impulsänderung ist – wenn wir also die Kraft mit der Zeit multiplizieren, während der die Kraft wirkt, erhalten wir die Impulsänderung. Deshalb beträgt der von dem Proton aufgenommene vertikale Impuls
Das stimmt nicht genau. Wenn wir dieses Ding genau integrieren, kommt vielleicht letzten Endes ein numerischer Faktor von 2,716 oder so heraus – aber bis jetzt versuchen wir nur, die Größenordnung, wie sie von den verschiedenen Variablen abhängt, herauszufinden.
Abbildung 3.7: Die horizontale und vertikale Komponente des Impulses des Protons bestimmen den Ablenkungswinkel.
Der horizontale Impuls des Massenpunktes ist im Grunde bei seinem Auftauchen und bei seinem Verschwinden gleich, nämlich mv:
(Das ist die einzige Sache, die Sie ändern müssen, wenn Sie die Relativität mit einbeziehen.)
Wie groß ist nun der Ablenkungswinkel? Nun, wir wissen, dass der nach oben gerichtete Impuls Ze2/bv und der „seitliche“ Impuls mv ist. Und das Verhältnis von „nach oben“ zu „seitlich“ ist der Tangens des Winkels – oder praktisch der Winkel selbst, weil er so klein ist (siehe Abbildung 3.7).
Die Gleichung (3.13) zeigt, wie der Winkel von der Geschwindigkeit, der Masse, der Ladung und dem so genannten „Stoßparameter“ – dem Abstand b – abhängt. Wenn Sie tatsächlich θ ausrechnen, indem Sie die Kraft integrieren, anstatt sie nur zu schätzen, stellt sich heraus, dass wirklich ein numerischer Faktor fehlt, und der Faktor ist genau 2. Ich weiß nicht, ob Sie schon so weit fortgeschritten in der Integralrechnung sind: Wenn Sie das nicht können, ist es OK. Es ist nicht wichtig, aber der korrekte Winkel ist
(Tatsächlich können Sie die Formel für eine beliebige hyperbolische Umlaufbahn genau berechnen, aber es ist egal: Für diesen Fall, für kleine Winkel, können Sie alles verstehen. Natürlich ist die Gleichung (3.14) nicht wahr, wenn die Winkel 30 oder 50 Grad groß werden. Dann haben wir eine zu grobe Näherung gemacht.)
Nun, diese Sache hat eine sehr interessante Anwendung in der Geschichte der Physik. Auf diese Weise entdeckte Rutherford, dass das Atom einen Kern hat. Er hatte eine sehr einfache Idee: Er baute eine Anordnung auf, in der sich Alphateilchen von einer radioaktiven Quelle durch einen Schlitz bewegten – so wusste er, dass sie sich in eine bestimmte Richtung bewegten –, und ließ sie auf einem Zinksulfidschirm aufprallen. Dabei konnte er an einer einzigen Stelle direkt hinter dem Schlitz Szintillationen sehen. Wenn er aber eine Goldfolie zwischen den Schlitz und den Schirm setzte, tauchten die Szintillationen manchmal woanders auf (siehe Abbildung 3.8)!
Abbildung 3.8: Das Experiment von Rutherford, bei dem Alphateilchen abgelenkt werden, führte zur Entdeckung des Atomkerns.
Natürlich war der Grund, dass die Alphateilchen, die an den kleinen Kernen in der Goldfolie vorbeikamen, abgelenkt wurden. Durch Messen der Ablenkungswinkel und Anwendung der Gleichung (3.14) in umgekehrter Form konnte Rutherford die Abstände, b, erhalten, die erforderlich waren, um ein so großes Maß an Ablenkung zu erzeugen. Die große Überraschung war, dass diese Abstände sehr viel kleiner als ein Atom waren. Bevor Rutherford sein Experiment machte, glaubte man, dass die positive Ladung des Atoms nicht in einem Punkt in der Mitte konzentriert, sondern gleichmäßig verteilt sei. Unter solchen Umständen konnte das Alphateilchen niemals die große Kraft erfahren, um die beobachteten Ablenkungen zu erzeugen, denn wenn es sich außerhalb des Atoms befände, wäre es nicht nah genug an der Ladung, und wenn es sich innerhalb des Atoms befände, wäre über und unter ihm eine identische Menge an Ladung, und das würde nicht genügend Kraft erzeugen. Durch die starken Ablenkungen wurde also demonstriert, dass es Quellen mit starker elektrischer Kraft innerhalb des Atoms gibt. Und dann wurde vermutet, dass es einen zentralen Punkt geben muss, an dem sich alle positiven Ladungen befinden. Durch Beobachten der Ablenkungen so weit nach außen wie möglich sowie ihrer Häufigkeit konnte man einen Schätzwert erhalten, wie klein b sein müsste, und letzten Endes erhielt man die Größe des Kerns – und die erwies sich als 10−5-mal kleiner als das Atom! So wurden die Atomkerne entdeckt.
Das nächste Problem, über das ich sprechen möchte, ist ein völlig anderes: Es hat mit dem Raketenantrieb zu tun. Zuerst nehme ich mal eine Rakete, die im leeren Raum herumfliegt – die Gravitationskraft und all das lasse ich außer Acht. Die Rakete wird gebaut, damit sie eine Menge Treibstoff aufnehmen kann. Sie hat eine Art Kraftmaschine, durch die sie an ihrem hinteren Ende Treibstoff ausstößt – und aus Sicht der Rakete wird dieser Treibstoff immer mit derselben Geschwindigkeit ausgestoßen. Sie wird zwischendurch nicht aus- oder eingeschaltet, sondern wir starten sie und dann stößt sie konstant am hinteren Ende Treibstoff aus, bis keiner mehr da ist. Wir nehmen an, dass das Zeug mit einer Rate μ (das bedeutet Masse pro Sekunde) ausgestoßen wird und dass es mit der Geschwindigkeit u herausströmt (siehe Abbildung 3.9).
Abbildung 3.9: Rakete mit der Masse m, die mit einer Rate μ = dm/dt und einer Geschwindigkeit u Treibstoff ausstößt.
Sie könnten sagen: „Ist das nicht dasselbe? Sie kennen die Masse pro Sekunde. Ist das nicht die Geschwindigkeit?“
Nein. Ich kann eine bestimmte Menge von Masse pro Sekunde herausschleudern, indem ich einen riesengroßen Haufen von dem Zeug nehme und es jedes Mal langsam nach draußen befördere, oder ich kann dieselbe Masse nehmen und jedes Mal nach draußen werfen. Wie Sie sehen, sind das zwei ganz unterschiedliche Vorstellungen.
Nun, die Frage ist, wie groß die Geschwindigkeit ist, die die Rakete nach einer Zeit hat. Nehmen wir z.B. an, dass sie 90% ihres Gewichtes verbraucht: Das bedeutet, dass, wenn der gesamte Treibstoff verbraucht ist, die Masse der verbleibenden Hülle ein Zehntel so groß ist wie die Masse des ganzen beladenen Dings vor dem Start. Wie groß ist die Geschwindigkeit, die die Rakete erreicht?
Jeder mit gesundem Menschenverstand würde sagen, dass es unmöglich ist, eine größere Geschwindigkeit als u zu erreichen, aber das stimmt nicht, wie Sie gleich sehen werden. (Vielleicht sagen Sie auch, das ist ja ganz klar. Mal sehen. Aber es stimmt tatsächlich, und zwar aus folgendem Grund.)
Betrachten wir die Rakete zu jedem beliebigen Zeitpunkt, wie sie sich mit irgendeiner beliebigen Geschwindigkeit bewegt. Wenn wir uns mit der Rakete bewegen und sie über einen Zeitraum Δt beobachten, was sehen wir dann? Nun, da ist eine bestimmte Masse Δm, die ausströmt – natürlich ist das das Produkt aus der Verlustrate μ der Rakete und der Zeit Δt. Und die Geschwindigkeit, mit der diese Masse ausströmt, ist u (siehe Abbildung 3.10).
Abbildung 3.10: Die Rakete gewinnt an Geschwindigkeit Δv während des Zeitintervalls Δt, indem sie die Masse Δm mit der Geschwindigkeit u ausstößt.
Wie schnell bewegt sich nun die Rakete zu dem Zeitpunkt vorwärts, nachdem diese Masse nach hinten geworfen wurde? Die Geschwindigkeit, mit der sie sich vorwärts bewegt, muss so groß sein, dass der Gesamtimpuls erhalten bleibt. Das heißt, sie legt etwas an Geschwindigkeit, Δv, zu, und zwar so: Wenn die Masse der Raketenhülle und des restlichen Treibstoffes zu diesem Zeitpunkt m ist, dann entspricht m mal Δv dem während dieser Zeit abgegebenen Impuls, der wiederum Δm mal u beträgt. Und mehr gibt es zur Raketentheorie auch nicht zu sagen, denn das ist die grundlegende Raketengleichung:
Wir könnten μΔt für Δm einsetzen und mit ein bisschen Herumprobieren herausfinden, wie lange es dauert, bis eine bestimmte Geschwindigkeit erreicht ist,28 aber unsere Aufgabe ist es ja, die Endgeschwindigkeit zu bestimmen, und das können wir direkt mithilfe der Gleichung (3.15) tun:
Um die Geschwindigkeit herauszufinden, die die Rakete erreicht, wenn sie aus der Ruhelage startet, integrieren Sie u(dm/m) von der Anfangsmasse zur Endmasse. u hatten wir als konstant angenommen und deshalb kann es aus dem Integral herausgenommen werden. So ergibt sich:
Das Integral vom dm/m ist Ihnen möglicherweise bekannt oder auch nicht. Nehmen wir an, Sie kennen es nicht. Sie sagen: „1/m ist so eine einfache Funktion, ich muss die Ableitung kennen: Ich probiere ein bisschen mit dem Differenzieren herum, bis ich sie herausgefunden habe.“
Aber es stellt sich heraus, dass Sie nichts Einfaches finden können – als Funktion von m, Potenzen von m oder so etwas –, das beim Differenzieren 1/m ergibt. Wenn Sie jetzt nicht wissen, was Sie tun sollen, machen wir es anders. Wir wählen die numerische Integration.
Denken Sie daran: Wenn Sie bei einer mathematischen Analyse nicht weiter wissen, können Sie die Aufgabe immer arithmetisch lösen!
Gehen wir davon aus, dass die Anfangsmasse 10 beträgt, und nehmen wir als einfache Näherung, dass wir jeweils eine Masseeinheit ausstoßen. Lassen Sie uns außerdem alle Geschwindigkeiten in der Einheit u messen, denn dann haben wir einfach Δv = Δm/m.
Wir wollen die Endgeschwindigkeit bestimmen. Schauen wir mal: Wie groß ist die Geschwindigkeit, die erreicht wird, während wir das erste Mal eine Einheit Masse ausstoßen? Nun, das ist einfach:
Aber das ist nicht ganz richtig, denn während Sie eine Einheit Masse ausstoßen, ist die Masse, die reagiert, nicht 10. Wenn Sie die ganze Einheit ausgestoßen haben, dann beträgt sie 9. Sehen Sie, nachdem Δm ausgestoßen wurde, beträgt die Masse der Rakete m − Δm. Also wäre es besser zu schreiben:
Aber das stimmt auch nicht ganz. Es wäre wahr, wenn die Rakete wirklich Klumpen ausstoßen würde, aber das tut sie nicht – sie wirft kontinuierlich Masse aus. Zu Beginn ist die Masse der Rakete 10. Am Ende der einen ausgestoßenen Einheit beträgt die Masse nur 9 – sodass sie im Durchschnitt etwa 9,5 beträgt. Für das Zeitintervall, in dem die erste Einheit ausgestoßen wird, sagen wir, dass m = 9,5 die effektive durchschnittliche Trägheit ist, die gegen Δm = 1 reagiert, sodass die Rakete einen Kraftstoß Δv erhält, der mit 1/9,5 identisch ist:
Es ist hilfreich, diese Hälften einzusetzen, weil Sie dann weniger Schritte brauchen, um eine hohe Genauigkeit zu erreichen. Natürlich ist es immer noch nicht ganz genau. Wenn wir es genauer machen wollten, könnten wir kleinere Masseklumpen, wie z. B. Δm = 1/10, nehmen und wesentlich mehr analysieren. Aber wir nehmen die grobe Variante mit Δm = 1 und machen weiter.
Jetzt beträgt die Masse der Rakete nur noch 9. Wir stoßen eine weitere Einheit hinten aus der Rakete aus und finden als Nächstes heraus, dass Δv … 1/9 ist? Nein … 1/8? Nein! Es gilt Δv = 1/8,5, weil die Masse sich kontinuierlich von 9 auf 8 geändert hat und durchschnittlich näherungsweise 8,5 betrug. Für die nächste Einheit erhalten wir Δv = 1 /7,5, und so entdecken wir, dass die Antwort die Summe von 1/9,5, 1/8,5, 1/7,5, 1/6,5 – tatatatam, bis zum Ende – ist. Mit dem letzten Schritt gehen wir von 2 Masseeinheiten auf 1, die Masse beträgt durchschnittlich 1,5 und uns bleibt eine Masseeinheit übrig.
Schließlich berechnen wir alle diese Verhältnisse (das dauert nur einen Moment, diese Zahlen sind alle OK, man kann sie leicht ausrechnen), addieren sie und erhalten die Antwort, 2,268. Das bedeutet, dass die Endgeschwindigkeit v 2,268-mal höher ist als die Ausströmgeschwindigkeit u. Das ist hier die Antwort – und es ist dem nichts hinzuzufügen!
Jetzt könnten Sie sagen: „Das gefällt mir in puncto Genauigkeit nicht – es ist ein bisschen schlampig. Es ist gut und schön zu sagen ,Im ersten Schritt ändert sich die Masse von 10 auf 9, also beträgt sie etwa 9,5‘. Aber im letzten Schritt ändert sie sich von 2 auf 1 und Sie haben dafür den Durchschnittswert 1,5 angenommen. Wäre es nicht besser, den letzten Schritt aufzuteilen und jeweils nur eine halbe Einheit auszustoßen, damit man ein etwas genaueres Ergebnis erhält?“ (Das ist ein fachlicher arithmetischer Punkt.)
Schauen wir mal. Während der ersten Hälfte des Zeitintervalls, in dem eine Einheit ausgestoßen wird, reduziert sich die Masse von 2 auf 1,5, im Durchschnitt sind das 1,75, sodass ich 1/1,75 mal eine halbe Einheit für mein Δm/m nehme. Dann mache ich das Gleiche für die zweite Hälfte einer Einheit. Die Masse fällt von 1,5 auf 1, beträgt also durchschnittlich 1,25:
Sie können also im letzten Schritt eine Verbesserung vornehmen – auf dieselbe Weise können Sie auch den Rest verbessern, wenn Sie sich die Mühe machen wollen – und es kommt 0,686 anstatt 0,667 heraus. Das bedeutet, dass unsere Antwort etwas zu niedrig war. Wenn Sie es genauer ausrechnen, kommt v ≈ 2,287 u heraus. Die letzte Ziffer ist wirklich nicht zuverlässig, aber unsere Schätzung ist sehr gut und das genaue Ergebnis wird nicht weit von 2,3 entfernt liegen.
Jetzt muss ich Ihnen sagen, dass man, da das Integral 
solch eine einfache Funktion ist und in so vielen Aufgaben vorkommt, dafür Tabellen angefertigt und ihm einen Namen gegeben hat: Man nennt es den natürlichen Logarithmus, ln(x). Und wenn Sie mal ln(10) in einer Tabelle für natürliche Logarithmen nachschauen, dann werden Sie sehen, dass er 2,302585 beträgt:
Mit dem Verfahren, das wir oben angewendet haben, können Sie den gleichen Grad an Genauigkeit erreichen, vorausgesetzt, dass Sie wesentlich kleinere Abstände, wie z. B. Δm = 1/1000, anstatt 1 benutzen – und genau das wurde hier gemacht.
Wie dem auch sei, wir haben uns in kurzer Zeit gut geschlagen, ohne dass wir vorher irgendetwas wussten und ohne in Tabellen nachzuschauen. Also, ich kann nur noch einmal betonen, dass Sie im Notfall immer auf die Arithmetik zugreifen können.
Nun, diese Frage des Raketenantriebs ist interessant. Sie werden zunächst einmal feststellen, dass die Geschwindigkeit, die schließlich erreicht wird, proportional zu u, der Ausströmgeschwindigkeit, ist. Deshalb sind alle möglichen Anstrengungen unternommen worden, um die Verbrennungsgase so schnell wie möglich auszustoßen. Wenn Sie Wasserstoffperoxid mit diesem oder jenem oder Sauerstoff mit Wasserstoff oder Ähnlichem verbrennen, dann wird eine bestimmte chemische Energie pro Gramm Treibstoff erzeugt. Und wenn Sie die Düsen und was weiß ich noch alles richtig konstruieren, dann können Sie erreichen, dass ein hoher Anteil dieser chemischen Energie in die Ausströmgeschwindigkeit übergeht. Aber natürlich können Sie nicht mehr als 100 % erreichen und so gibt es eine Obergrenze für einen bestimmten Treibstoff bezüglich der Geschwindigkeit, die durch eine ideale Konstruktion bei einem gegebenen Massenverhältnis erreicht werden kann, weil es eine Obergrenze für den u-Wert gibt, der durch eine bestimmte chemische Reaktion erreicht werden kann.
Betrachten wir zwei Reaktionen, a und b, die dieselbe Energie pro freigesetztem Atom, aber Atome mit unterschiedlichen Massen, ma und mb, haben. Wenn ua und ub die Ausströmgeschwindigkeiten sind, ergibt sich dann
Die Geschwindigkeiten werden also bei der Reaktion mit dem leichteren Atom größer sein, weil die Gleichung (3.20) besagt, dass für ma < mb gilt: ua > ub. Deshalb sind die meisten für Raketen verwendeten Treibstoffe leicht. Die Ingenieure würden gern Helium mit Wasserstoff verbrennen, aber leider brennt dieses Gemisch nicht, deshalb müssen sie z. B. auf Sauerstoff und Wasserstoff zurückgreifen.
Statt der Nutzung chemischer Reaktionen sieht ein anderer Vorschlag die Herstellung eines Mechanismus, durch den Atome ionisiert werden, und deren anschließende elektrische Beschleunigung vor. Damit kann man eine irre Geschwindigkeit erreichen, weil man die Ionen so stark beschleunigen kann wie man möchte. Und hier habe ich eine weitere Aufgabe für Sie.
Nehmen wir an, wir haben eine so genannte Ionenantriebsrakete. Am hinteren Ende stoßen wir Cäsiumionen aus, die durch einen elektrostatischen Beschleuniger beschleunigt werden. Die Ionen starten vorne an der Rakete und zwischen dem vorderen und dem hinteren Ende wird eine Spannung V0 angelegt – in unserem speziellen Fall eine ziemlich große Spannung – ich habe V0 = 200 000 V gewählt.
Die Frage ist jetzt, wie groß der Schub ist, den dieses erzeugt. Das ist eine andere Aufgabe als die, die wir vorhin hatten, als wir herausfinden mussten, wie schnell die Rakete war. Dieses Mal möchten wir wissen, wie groß die Kraft ist, die erzeugt wird, wenn die Rakete auf einem Versuchsstand gehalten wird (siehe Abbildung 3.11).
Die Lösungsmethode sieht so aus: Nehmen wir an, dass die Rakete in einem Zeitintervall Δt eine Menge an Masse Δm = μΔt mit der Geschwindigkeit u ausstoßen soll. Dann ist der abgegebene Impuls (μΔt)u. Da Aktion und Reaktion identisch sind, geht ein ebenso großer Impuls in die Rakete hinein. In der anderen Aufgabe befand sich die Rakete im Raum und hob deshalb ab. Dieses Mal wird sie durch den Versuchsstand festgehalten und der durch die Ionen erreichte Impuls pro Sekunde ist die Kraft, die ausgeübt werden muss, um die Rakete an Ort und Stelle zu halten. Der von den Ionen erzeugte Gesamtimpuls pro Sekunde ist (μΔt)u/Δt. Somit ist die Schubkraft der Rakete einfach μu, die Masse pro Sekunde, die freigesetzt wird, multipliziert mit der Ausströmgeschwindigkeit. Und deshalb muss ich für mein Cäsiumion nur ausrechnen, wie groß die ausströmende Masse pro Sekunde ist und mit welcher Geschwindigkeit sie ausströmt:
Zuerst berechnen wir die Geschwindigkeit der Ionen, und zwar so: Die kinetische Energie eines Cäsiumions, das aus der Rakete austritt, ist gleich dem Produkt aus seiner Ladung und der Spannungsdifferenz im Beschleuniger. Das ist Spannung: Sie ist wie potentielle Energie, so wie Feld wie Kraft ist – Sie müssen nur mit der Ladung multiplizieren, um die Differenz in der potentiellen Energie zu erhalten.
Das Cäsiumion ist einwertig – es hat eine Elektronenladung –, sodass gilt:
So, nun lassen Sie uns dieses 
ausrechnen. Die Ladung pro Mol29 ist diese berühmte Zahl 96 500 Coulomb pro Mol. Die Masse pro Mol nennen wir das Atomgewicht oder die Atommasse und wenn Sie im Periodensystem nachschauen, finden Sie für Cäsium 0,133 kg pro Mol.
Sie sagen: „Was soll das mit diesen Molen? Ich will die loswerden!“
Wir sind sie schon los: Alles, was wir brauchen, ist das Verhältnis zwischen Ladung und Masse. Das kann ich in einem Atom oder in einem Mol von Atomen messen, es ist dasselbe Verhältnis. So erhalten wir für die Ausströmgeschwindigkeit
Übrigens, 5 ∙ 105 m/s ist wesentlich schneller als das, was Sie jemals durch eine chemische Reaktion erreichen können. Chemische Reaktionen entsprechen Spannungen in der Größenordnung von einem Volt. Das heißt, dass diese Rakete mit Ionenantrieb 200 000-mal mehr Energie liefert als eine chemische Rakete.
Das ist schön, aber wir wollen nicht nur die Geschwindigkeit. Wir wollen den Schub. Und deshalb müssen wir die Geschwindigkeit mit der Masse pro Sekunde, μ, multiplizieren. Ich will die Antwort als Funktion des Elektrizitätsstromes geben, der aus der Rakete ausströmt – weil der natürlich proportional zu der Masse pro Sekunde ist. Also will ich herausfinden, wie viel Schub pro Ampere Strom vorhanden ist.
Nehmen wir an, dass ein Ampere ausströmt: Wie viel Masse ist das? Das ist ein Coulomb pro Sekunde oder 1/96 500 Mol pro Sekunde, weil so viele Coulomb in einem Mol enthalten sind. Aber ein Mol wiegt 0,133 kg, das liefert 0,133/96 500 kg pro Sekunde und das ist der Massendurchsatz:
Ich multipliziere μ mit der Geschwindigkeit u, um den Schub pro Ampere zu bekommen. Das Ergebnis ist:
Wir erhalten also weniger als drei Viertel eines Newtons pro Ampere – das ist schlecht, miserabel, schwach. Ein Ampere ist verdammt wenig Strom, 100 oder 1000 Ampere sind schon ganz ordentlich, aber selbst das liefert kaum Schub. Es ist schwierig, eine ordentliche Menge Ionen zu bekommen.
Jetzt rechnen wir aus, wie viel Energie verbraucht wird. Bei einem Strom von 1 Ampere wird 1 Coulomb an Ladung pro Sekunde über ein Potential von 200 000 V ausgestoßen. Um die Energie (in Joule) zu bestimmen, multipliziere ich die Ladung mit der Spannung, weil Volt eigentlich nichts anderes als Energie pro Ladungseinheit (Joule/Coulomb) ist. Deshalb werden 1 × 200 000 Joule pro Sekunde verbraucht und das entspricht 200 000 Watt:
Aus 200 000 Watt erhalten wir nur 0,74 Newton und das ist vom energetischen Standpunkt aus gesehen grausig. Das Verhältnis Schub/Leistung beträgt nur 3,7 × 10−6 Newton pro Watt – das ist äußerst schwach:
Auch wenn es eine nette Idee ist, bedeutet das, dass man eine ungeheure Menge an Energie braucht, um in diesem Ding irgendwohin zu kommen!
Eine andere Raketenkonstruktion ist vorgeschlagen worden, und zwar nach dem Motto „Je schneller man ausstoßen kann, desto besser“. Also, warum nicht Photonen ausstoßen – sie sind das Schnellste, was es auf der Erde gibt – Licht hinten aus der Rakete schießen! Die Photonen stoßen hinten an der Rakete aus, schalten ein Blitzlicht ein und erhalten einen Schub! Sie können sich allerdings sicher vorstellen, dass man eine wahnsinnige Menge Licht ausstoßen kann, ohne dass man einen spürbaren Schub erhält: Sie wissen aus Erfahrung selbst, dass es Sie nicht von den Füßen haut, wenn Sie ein Blitzlicht einschalten. Selbst wenn Sie eine 100-Watt-Birne einschalten und eine Fokussiervorrichtung daraufsetzen, spüren Sie gar nichts! Somit ist es sehr unwahrscheinlich, dass wir sehr viel Schub pro Watt erhalten. Rechnen wir aber trotzdem mal das Verhältnis Schub/Leistung für eine Rakete mit Photonenantrieb aus.
Jedes Photon, das wir am hinteren Ende der Rakete ausstoßen, trägt einen bestimmten Impuls p und eine bestimmte Energie E und bei Photonen ist die Energie das Produkt aus dem Impuls und der Lichtgeschwindigkeit:
Also ist bei einem Photon der Impuls pro Energie gleich 1/c. Das bedeutet: Egal, wie viele Photonen wir verwenden, der Impuls, den wir pro Sekunde ausstoßen, hat ein bestimmtes Verhältnis zu der Energie, die wir pro Sekunde ausstoßen – und dieses Verhältnis ist eindeutig und festgelegt: 1 dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit.
Der pro Sekunde ausgestoßene Impuls ist jedoch die Kraft, die benötigt wird, um die Rakete an Ort und Stelle zu halten, während die pro Sekunde ausgestoßene Energie die Leistung der Maschine ist, die die Photonen erzeugt. Folglich beträgt das Verhältnis Schub/Leistung auch 1/c (dabei ist c = 3 × 108) oder 3,3 × 10−9 Newton pro Watt, und das ist tausendmal schlechter als der Cäsiumionen-Beschleunigerund eine Million Mal schlechter als eine chemische Rakete! Das sind einige Punkte der Raketenkonstruktion.
(Ich zeige Ihnen alle diese komplizierten halbneuen Dinge, damit Sie sehen können, dass Sie etwas gelernt haben und dass Sie jetzt in der Lage sind, einen großen Teil von dem, was in der Welt so vor sich geht, zu verstehen.)
Die nächste Aufgabe, die ich mir ausgedacht habe, um Ihnen zu zeigen, wie man Dinge anpacken kann, ist folgende. Im Kellogg Laboratory30 haben wir einen Van-de-Graaff- Generator, der Protonen mit 2 Millionen Volt erzeugt. Die Potentialdifferenz wird elektrostatisch durch ein Band erzeugt, das sich bewegt. Die Protonen fallen durch dieses Potential, nehmen eine Menge Energie auf und kommen in Form eines Strahls heraus.
Nehmen wir an, wir möchten für bestimmte Versuchszwecke, dass die Protonen in verschiedenen Winkeln austreten, sodass wir sie ablenken müssen. Das geht am Besten mit einem Magneten. Trotzdem können wir auch berechnen, wie man das elektrisch machen kann – sie wurden ja so erzeugt – und das machen wir jetzt.
Wir nehmen ein Paar gebogener Platten, die sich im Vergleich zum Radius ihrer Krümmung sehr dicht beieinander befinden – z. B. näherungsweise d = 1 cm voneinander entfernt – und durch Isolatoren voneinander getrennt sind. Die Platten sind kreisförmig gebogen und wir legen eine möglichst große Spannung von einer Spannungsquelle durch die Platten hindurch, so dass wir zwischen ihnen ein elektrisches Feld erzeugen, das den Strahl radial um den Kreis herum ablenkt (siehe Abbildung 3.12).
Tatsächlich hat man, wenn man erheblich mehr als 20 kV über einen Abstand von 1 cm im Vakuum legt, Probleme mit Durchschlägen – sobald es eine kleine undichte Stelle gibt, gelangt Schmutz hinein und es ist sehr schwierig, ein Überschlagen zu verhindern – also legen wir 20 kV durch die Platten. (Ich mache diese Aufgabe allerdings nicht mit Zahlen. Ich erkläre nur alles mit Zahlen. Deshalb nenne ich die Spannung durch die Platten VP.) Jetzt möchten wir wissen: Bis zu welchem Krümmungsradius müssen wir die Platten biegen, damit 2 MeV-Protonen zwischen ihnen abgelenkt werden?
Das hängt einfach von der Zentripetalkraft ab. Wenn m die Masse eines Protons ist, dann besagt die Gleichung (2.17), dass mv2/R gleich der Kraft ist, die erforderlich ist, um das Proton hineinzuziehen. Und die Kraft, die das Proton hineinzieht, ist die Ladung des Protons – wieder unser berühmtes qel – multipliziert mit dem elektrischen Feld, das sich zwischen den Platten befindet:
Diese Gleichung ist das newtonsche Axiom: Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung. Damit Sie es anwenden können, müssen Sie allerdings die Geschwindigkeit des Protons, das aus dem Van-de-Graaff-Generator herauskommt, kennen.
Nun, Informationen über die Geschwindigkeit der Protonen haben wir dadurch, dass wir wissen, wie groß das Potential ist, durch das sie gefallen sind – 2 Millionen Volt. Diesen Wert nenne ich V0. Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die kinetische Energie des Protons, mv2/2, gleich dem Produkt aus der Ladung des Protons und der Spannung ist, durch die es gefallen ist. v2 können wir daraus direkt berechnen:
Wenn ich v2 aus der Gleichung (3.30) in die Gleichung (3.29) einsetze, erhalte ich
Wenn ich also wüsste, wie groß das elektrische Feld zwischen den Platten ist, könnte ich den Radius leicht bestimmen – auf Grund dieser einfachen Beziehung zwischen dem elektrischen Feld, der Spannung, bei der die Protonen gestartet sind, und der Krümmung der Platten.
Nun, was ist das elektrische Feld? Wenn die Platten nicht zu stark gebogen sind, ist das elektrische Feld überall zwischen ihnen ungefähr gleich groß. Und wenn ich eine Spannung durch die Platten lege, gibt es eine Energiedifferenz zwischen einer Ladung auf der einen Platte und einer Ladung auf der anderen. Die Energiedifferenz pro Ladungseinheit ist die Spannungsdifferenz – das bedeutet Spannung. Wenn ich nun eine Ladung q durch ein konstantes elektrisches Feld ℰ von der einen Platte zur anderen transportieren würde, wäre die auf die Ladung ausgeübte Kraft qℰ und die Energiedifferenz qℰd, wobei d der Abstand zwischen den Platten ist. Durch Multiplizieren von Kraft und Abstand erhalte ich die Energie – oder durch Multiplizieren von Feld und Abstand erhalte ich das Potential. Also beträgt die Spannung an den Platten ℰd:
Deshalb habe ich das ℰ aus (3.32) in Gleichung (3.31) für den Radius substituiert – er ist 2V0/VP mal dem Abstand zwischen den Platten:
In unserer speziellen Aufgabe ist das Verhältnis von V0 zu VP – 2 Millionen Volt zu 20 kV – 100 zu 1 und d = 1 cm. Deshalb sollte der Krümmungsradius 200 cm oder 2 m betragen.
Eine Voraussetzung, von der wir hier ausgegangen sind, ist, dass das elektrische Feld zwischen den Platten konstant ist. Wie gut ist unsere Ablenkvorrichtung, wenn das elektrische Feld nicht konstant ist? Immer noch ziemlich gut, weil die Platten bei einem Radius von 2 m fast flach sind, sodass das Feld näherungsweise konstant ist. Und wenn wir den Strahl direkt in der Mitte haben, ist das OK. Aber selbst wenn das nicht der Fall ist, ist sie sehr gut, denn wenn das Feld auf einer Seite zu stark ist, ist es auf der anderen Seite zu schwach. Diese Dinge gleichen sich fast aus. Mit anderen Worten, wenn wir das Feld nahe der Mitte verwenden, erhalten wir einen ausgezeichneten Schätzwert: Selbst wenn er nicht perfekt ist, ist er bei solchen Dimensionen ein verdammt guter Näherungswert. Bei R/d = 200 zu 1 ist er fast genau.
Ich habe eigentlich keine Zeit mehr, aber ich bitte Sie, noch eine Minute zu bleiben, damit ich Ihnen über ein weiteres Problem berichten kann: Die historische Art und Weise, wie die Masse des Pions (π) bestimmt wurde. Tatsächlich wurde das Pion zuerst auf fotografischen Platten entdeckt, auf denen Spuren von My-Mesonen31 (μ) vorhanden waren: Ein unbekanntes Teilchen war darauf gelangt und hatte gestoppt und dort, wo es sich nicht weiter bewegt hatte, gab es eine kleine abgehende Spur, deren Eigenschaften, so fand man heraus, die eines Myons waren. (Myonen waren vorher bereits bekannt, aber das Pion wurde anhand dieser Bilder entdeckt.) Man nahm an, dass ein Neutrino (v) in die entgegengesetzte Richtung flog (und dabei keine Spur hinterließ, weil es keine Ladung besitzt) (siehe Abbildung 3.13).
Abbildung 3.13: Spuren eines Pions, das in ein Myon und ein unsichtbares (elektrisch neutrales) Teilchen zerfällt.
Die Ruheenergie des Myons ist bekanntlich 105 MeV und man fand anhand der Eigenschaften der Spur heraus, dass seine kinetische Energie 4,5 MeV ist. Wie können wir daraus die Masse des Pions bestimmen (siehe Abbildung 3.14)?
Nehmen wir an, dass sich das Pion in Ruhe befindet und in ein Myon und ein Neutrino zerfällt. Wir kennen die Ruheenergie sowie die kinetische Energie und damit auch die Gesamtenergie des Myons. Aber wir müssen außerdem die Energie des Neutrinos kennen, weil auf Grund der Relativität die Masse des Pions mal c zum Quadrat seine Energie ist, und diese gesamte Energie geht in das Myon und das Neutrino über. Sehen Sie, das Pion verschwindet und das Myon und das Neutrino bleiben übrig. Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Energie des Pions die Summe der Energie des Myons und der Energie des Neutrinos sein:
Abbildung 3.14: Zerfall eines Pions in Ruhe in ein My- on und ein Neutrino mit identischen und entgegengesetzt gerichteten Impulsen. Die Gesamtenergie des Myons und Neutrinos ist identisch mit der Ruheenergie des Pions.
Also müssen wir die Energie des Myons und die Energie des Neutrinos berechnen. Die Energie des Myons ist einfach, sie ist praktisch gegeben: 4,5 MeV ist die kinetische Energie, addiert zur Ruheenergie – und wir erhalten
Und wie groß ist die Energie des Neutrinos? Das ist schwieriger. Aber laut dem Impulserhaltungssatz kennen wir den Impuls des Neutrinos, weil er den gleichen Betrag wie der Impuls des Myons hat und ihm entgegengesetzt gerichtet ist – und das ist der Schlüssel. Sie sehen, ich ziehe das Ganze von hinten auf: Wenn wir den Impuls des Neutrinos kennen, können wir wahrscheinlich seine Energie ausrechnen. Also versuchen wir’s.
Wir berechnen den Impuls des Myons mit der Formel E2 = m2c4 + p2c2 und wählen ein Einheitensystem, in dem c = 1 ist, sodass E2 = m2 + p2 ist. Das liefert für den Impuls des Myons:
Aber der Impuls des Neutrinos ist vom gleichen Betrag und entgegengesetzt gerichtet, d. h. der Impuls des Neutrinos ist, abgesehen vom Vorzeichen, ebenfalls 31 MeV.
Wie sieht’s mit seiner Energie aus?
Da die Ruhemasse des Neutrinos null ist, ist seine Energie gleich dem Produkt aus seinem Impuls und c. Darüber haben wir bei der Rakete mit Photonenantrieb gesprochen. Bei dieser Aufgabe lassen wir c = 1, sodass die Energie des Neutrinos gleich groß ist wie sein Impuls, 31 MeV.
So, das wär’s: Die Energie des Myons beträgt 109,5 MeV, die Energie des Neutrinos ist 31 MeV, sodass die in der Reaktion freigesetzte Gesamtenergie 140,5 MeV beträgt – alles gegeben durch die Ruhemasse des Pions:
Und so wurde die Masse des Pions ursprünglich bestimmt.
Für mehr reicht die Zeit jetzt nicht. Danke.
Bis zum nächsten Mal. Alles Gute!
