Mathématiques en 30 secondes

théorie en 30 secondes

Imaginez deux longues séquences de pile (P) et de face (F), chacune commençant par PPFPFP… Une est véritablement aléatoire : le résultat d’un lancé répétitif d’une pièce de monnaie neutre. L’autre ne l’est pas : elle est soigneusement choisie par une personne. Existe-t-il une façon de dire laquelle l’est, laquelle ne l’est pas ? Un simple test dit, qu’à long terme, pile et face apparaîtront souvent à égalité dans une séquence aléatoire. Mais cela n’est pas suffisant. Il se pourrait que chaque paire de résultats apparaissent (PP, PF, FP et FF), en moyenne, à égalité aussi souvent que chaque autre. Et pareillement pour chaque séquence triple, quadruple ou plus longue. Mais toutes ne sont pas suffisantes, puisqu’il est encore possible de rencontrer ces conditions artificiellement. La séquence la plus simple est PPPPPP… Elle est manifestement non aléatoire. Mais il y a un autre paramètre : elle peut être facilement compressée. La phrase « un million de pile » décrit cette séquence très succinctement et permet à quiconque de la communiquer et de la recréer avec une exactitude parfaite. Les séquences vraiment aléatoires ne peuvent pas être compressées du tout. La seule façon de communiquer une séquence aléatoire à quelqu’un d’autre est de l’écrire en entier. Il s’agit d’une découverte importante et récente : l’aléatoire et l’incompressibilité sont essentiellement la même chose.

CONDENSÉ EN 3 SECONDES

Ce qui est aléatoire est un point central de la science, mais bien difficile à déceler mathématiquement.

RÉFLEXION EN 3 MINUTES

Internet fonctionne sur une séquence binaire : longues suites de valeur 0 et de valeur 1 que les ordinateurs peuvent traduire dans tous les programmes et fichiers que nous souhaitons utiliser. Pour une efficacité maximum, ces suites sont compressées autant que possible en utilisant un logiciel de compression de fichiers. Lorsqu’une série a été compressée, en en dépouillant tout modèle prédictif ou répétitif, elle est devenue non distinguable d’une séquence purement aléatoire. L’information parfaitement compressée est ainsi mathématiquement identique à ce qui est aléatoire.