Aha:
Aufgaben mit Trick 17 lösen
Die schönsten mathematischen Knobeleien haben eine überraschend kurze und einfache Lösung. Oft steckt auch ein Trick dahinter. Jetzt ist Ihre Kreativität gefragt!
Auf dem Klassentreffen taucht als Überraschungsgast der Mathelehrer auf. Er hat seine Schülerinnen und Schüler immer wieder mit verrückten Knobeleien beschäftigt – und natürlich hat er auch diesmal eine schier unlösbare Aufgabe dabei.
»Ich möchte euer Gedächtnis testen«, sagt er. »Jeder darf mitmachen. Aber ihr dürft euch weder Notizen machen noch untereinander verständigen. Jeder ist auf sich allein gestellt, das einzig erlaubte Hilfsmittel ist euer Gehirn.«
Jetzt hat der Mathelehrer die volle Aufmerksamkeit.
»Ich werde aus den Zahlen von 1 bis 100 genau 99 auswählen und sie euch in einer zufälligen Reihenfolge vorlesen. Alle zehn Sekunden nenne ich eine neue Zahl. Ganz am Ende sagt ihr mir bitte, welche Zahl von 1 bis 100 in meiner Auswahl gefehlt hat.«
Gibt es eine Möglichkeit, die fehlende Zahl zu finden?
Hinweis: Wir gehen davon aus, dass die Teilnehmer des Klassentreffens alle nur über ein durchschnittliches Gedächtnis verfügen. Niemand kann sich 99 Zahlen in zufälliger Reihenfolge merken – außer Gedächtniskünstler, die es in der Klasse aber nicht gibt. Drei oder vier Zahlen zugleich im Kopf behalten – mehr ist kaum drin.
Die Lösung finden Sie hier
14) Das Kaninchen am falschen Fleck
Das Sommerfest des Kaninchenzüchtervereins rückt näher. Der Vereinsvorsitzende will die Mitglieder mit einer neuen Tischdecke für den kreisrunden Stammtisch überraschen. Er hat extra ein hübsches Karnickelgesicht daraufdrucken lassen.
Doch dabei ist etwas schiefgelaufen. Der Kopf befindet sich nicht genau in der Mitte der runden Decke, sondern am Rand – siehe Skizze.
Was nun? Man könnte die Decke noch einmal drucken lassen. Das würde dann aber extra kosten, denn der Fehler ist dem Vereinsvorsitzenden unterlaufen. Er hatte den Layout-Vorschlag der Druckerei durchgewinkt, ohne genau draufzuschauen.
Deshalb erwägt der Kaninchenzüchter eine andere Lösung. Seine Tochter kann sehr gut nähen. Sie würde es hinbekommen, die Decke zu zerschneiden und wieder zusammenzufügen, ohne dass es besonders auffällt.
Aber es wäre natürlich gut, wenn sie die Decke nicht in allzu viele Stücke zerschneiden müsste.
Was ist die kleinstmögliche Zahl an Stücken, in die man die Decke zerlegen muss, damit sich der Kaninchenkopf nach dem Zusammenfügen genau in der Mitte befindet?
Die Lösung finden Sie hier
Mit Zahlenmagie kann man Menschen immer beeindrucken.
Ein Zauberer bittet zwei Zuschauer, sich jeweils eine Ziffer größer als null auszusuchen. Also je eine einstellige, positive, ganze Zahl. Wir nennen diese beiden Ziffern A und B.
Dann sollen die beiden Zuschauer aus diesen beiden Ziffern die folgende sechsstellige Zahl bilden:
ABABAB
Die beiden Zuschauer schreiben diese Zahl auf ein großes Blatt Papier und zeigen sie dem Publikum – der Zauberer kennt die beiden Zahlen nicht.
Doch er behauptet: »Diese Zahl ist durch 7 teilbar.«
Die Zuschauer staunen, denn der Zauberer hat recht.
Zufall? Oder stimmt das wirklich für alle denkbaren Ziffern A und B? Falls ja, warum?
Die Lösung finden Sie hier
16) Wie teilt man das Quadrat?
Gegeben ist ein Quadrat. Sie sollen es in n kleinere Quadrate zerlegen, die nicht zwingend gleich groß sein müssen. n soll dabei eine gerade natürliche Zahl sein.
Für welche geraden Zahlen n ist so eine Aufteilung in kleinere Quadrate möglich? Finden Sie alle diese Zahlen!
Die Lösung finden Sie hier
Ein viereckiges Stück Papier soll mit nur zwei geraden Schnitten in sechs Stücke zerschnitten werden. Das Papier darf dabei weder gebogen noch gefaltet werden. Zudem dürfen die Papierstücke nach dem ersten Schnitt nicht neu angeordnet oder übereinandergelegt werden.
Kann das gelingen?
Die Lösung finden Sie hier
Tausende Mathematikerinnen und Mathematiker treffen sich für eine Woche zu ihrem weltgrößten Kongress. Abends bevölkern sie die Kneipen und Bars der Stadt.
Ein Barkeeper will schauen, wie kreativ Mathematiker wirklich sind, und stellt den Gästen folgende Aufgabe: »Ich habe hier zehn Münzen. Die sollen über diese drei Plastikbecher verteilt werden. Und zwar so, dass jeder Becher eine ungerade Anzahl von Münzen enthält.«
Die Gäste grübeln. Dann sagt einer: »Das ist doch ganz einfach, aber ich verrate meine Lösung nicht.«
Ein anderer meint: »Nein, das ist nicht möglich. Die Aufgabe ist unlösbar.«
Wer hat recht?
Die Lösung finden Sie hier
Auf einer quadratischen Weide stehen neun Pferde. Die Tiere mögen einander nicht besonders und haben sich so verteilt, dass keines dem anderen zu nahe kommt. Aber es gibt trotzdem immer wieder Stress zwischen ihnen. Deshalb sollen sie durch zusätzliche Zäune voneinander getrennt werden.
Man könnte das Quadrat in neun kleinere Quadrate aufteilen, aber der Besitzer der Weide hat sich in den Kopf gesetzt, dass zwei Zaun-Quadrate ausreichen müssten, um die Tiere voneinander zu trennen. Jedes Tier soll an der Position bleiben, an der es sich gerade befindet – siehe Zeichnung.
Die beiden zu nutzenden Zäune sollen von oben gesehen wie ein Quadrat aussehen. Es gibt keine Vorgaben zur Größe dieser aus Zaun gebildeten Quadrate.
Gibt es tatsächlich eine solche Aufteilung?
Hinweis: Die für die einzelnen Pferde zur Verfügung stehenden Flächen müssen nicht zwingend gleich groß sein. Und die beiden aus Zaun gebildeten Quadrate dürfen sich – von oben gesehen – berühren oder einander überlappen.
Die Lösung finden Sie hier
Nina und Matthias wohnen zu zweit in einer kleinen Villa. Am Samstag müssen sie mal wieder Haus, Terrasse und Rasen auf Vordermann bringen. Sie haben einen Staubsauger, einen Rasenmäher und einen Hochdruckreiniger.
Das Saugen aller Zimmer im Haus dauert 30 Minuten, das Rasenmähen dauert ebenfalls 30 Minuten. Und auch das Reinigen der Platten auf der Terrasse mit dem Hochdruckreiniger beansprucht 30 Minuten.
Jedes der drei Geräte muss von einer Person bedient werden.
Die beiden beginnen den Hausputz um 11 Uhr. Wann sind Nina und Matthias frühestens damit fertig?
Die Lösung finden Sie hier
21) Ordnung auf dem Kuchenblech
Sie kennen das: Guter Kuchen existiert nicht lange, er wird ziemlich schnell aufgegessen. So ist es auch bei dem Gebäck, um das sich dieses Rätsel dreht.
Es handelt sich um einen harten Kuchen, der von der Konsistenz her am ehesten mit Lebkuchen vergleichbar ist. Vor dem Backen hat der Konditor dünne Linien in den flachen Teig gezogen, die den Kuchen in quadratische Stücke einteilen. Entlang dieser Linien wird er dann auch im Laden geschnitten.
Der Kuchen verkauft sich gut, diverse Stücke sind bereits abgeschnitten.
Der Kuchen hat nun eine unregelmäßige Form, es sind noch genau 64 Stücke übrig. Sie hängen alle noch miteinander zusammen – siehe Zeichnung.
64 ist eine Quadratzahl, denkt sich der Konditor. Die Stücke könnten ein Quadrat aus 8 mal 8 Stücken bilden.
Nun lautet die Frage: Ist es möglich, das große Kuchenstück so in zwei Teile zu schneiden, dass sich diese beiden Teile zu einem Quadrat zusammenlegen lassen?
Hinweis: Schneiden dürfen Sie nur entlang der Schnittlinien, Schnitte um eine Ecke sind erlaubt. Die quadratischen Kuchenstücke der beiden entstehenden Teile müssen jedoch vollständig miteinander zusammenhängen.
Die Lösung finden Sie hier
Ein Wanderer will auf einer Hütte in den Bergen übernachten. Mindestens eine Nacht, vielleicht auch mehr, maximal jedoch sieben. Die Saison ist so gut wie zu Ende – und er ist der einzige Gast.
Weil der Wanderer noch nicht genau sagen kann, wie viele Tage er bleibt und zudem jeden Tag Touren unternimmt, besteht der Wirt auf einer täglichen Vorauszahlung. »Der Preis beträgt 50 Euro pro Nacht. Mit Karte können Sie hier oben leider nicht zahlen.«
»Oh«, entgegnet der Wanderer. »Da haben wir jetzt ein Problem. Ich habe nämlich gar kein Bargeld dabei. Ich könnte die Übernachtung stattdessen mit Silber bezahlen.«
Der Wanderer zeigt dem Wirt eine Silberkette, die aus sieben Gliedern besteht. Die Kette ist nicht geschlossen, sie hat vielmehr ein Anfangs- und ein Endglied.
»Gut«, sagt der Wirt. »Ich berechne Ihnen ein Kettenglied pro Tag. Und damit die Kette möglichst wenig Schaden nimmt, sollten Sie nur ein Glied aufschneiden.«
Schließlich bleibt der Wanderer sieben Tage auf der Hütte – und er hat auch keinerlei Probleme mit der täglichen Vorauszahlung in Höhe von einem Kettenglied.
Wie hat der Wanderer das hinbekommen?
Die Lösung finden Sie hier
Magische Quadrate gibt es in ganz verschiedenen Varianten: Mal enthalten sie Zahlen, mal Buchstaben, mal Farben. Üblicherweise gilt ein Zahlenquadrat als magisch, wenn die Summe der Zahlen in allen Zeilen und Spalten gleich groß ist. Beim Quadrat dieses Rätsels ist das nicht der Fall. Beispielsweise ist die Summe der Zahlen in der obersten Zeile kleiner als eine Zeile darunter. Gleichwohl darf man das Quadrat magisch nennen.
Die Magie zeigt sich, wenn Sie wie folgt vorgehen:
Wählen Sie eine beliebige Zahl und umkreisen Sie diese (im Bild oben die 27).
Streichen Sie alle Zahlen, die in derselben Zeile und Spalte stehen wie die gewählte Zahl.
Umkreisen Sie eine neue, beliebige Zahl. Diese darf weder umkreist noch durchgestrichen sein. Streichen Sie wieder alle Zahlen, die in derselben Zeile und Spalte stehen wie die gewählte Zahl.
Wiederholen Sie diese Schritte, bis alle Zahlen umkreist oder durchgestrichen sind.
Addieren Sie alle eingekreisten Zahlen.
Kann es sein, dass diese Summe immer dieselbe ist, egal, welche Zahlen Sie ausgewählt haben? Falls das stimmt: Wie groß ist diese Summe? Und warum ist die Summe immer gleich?
Die Lösung finden Sie hier
